Fläche zwischen drei Funktionen

12.08.2014, 09:57

134340

Fläche zwischen drei Funktionen

Hey

Es sind die drei Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{6} x^3-\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{6} x+\frac{11}{6} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x)= -\frac{3}{4} x^2-\frac{1}{2} x+\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)= -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gegeben. Zu berechnen ist die Fläche zwischen den Schnittpunkten von h und f, unterhalb von f, oberhalb von h und g.

Ich bin mir nicht sicher ob mein Denkansatz hier richtig ist; kann die Fläche so berechnet werden: $\begin{eqnarray*} A=\int_{-2}^2 \! f(x) \, dx -\int_{-2}^2 \! h(x) \, dx -\int_{-1}^1 \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2014, 10:16

Steffen Bühler

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RE: Fläche zwischen drei Funktionen
Ich sehe hier nur einen Schnittpunkt von h und f, keine zwei:

Kannst Du die Funktionsterme noch mal überprüfen?

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Grafik korrigiert

12.08.2014, 10:56

134340

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Falsche Darstellung der Grafik
Die Funktionsterme sind korrekt! Aber aus irgendeinem Grund stellt er die Gerade h falsch dar. Weil der Schnittpunkt mit der Ordinatenachse liegt ja bei 0,5 und nicht wie in der Grafik bei 0.

EDIT: Wie berechne ich nun die gesuchte Fläche? Ich habe eben meine Methode durchgerechnet und bin leider nicht auf das richtige Ergebnis gekommen und bin nun etwas Ratlos.

12.08.2014, 11:11

Steffen Bühler

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RE: Falsche Darstellung der Grafik
Stimmt, unser Funktionenplotter braucht 1.0/2 statt 1/2... Sorry.

Die Fläche zwischen rot und blau kannst Du durch das Integral der Differenzfunktion von f und h berechnen. Du hast allerdings die Differenz der Integrale berechnet, das ist nicht unbedingt dasselbe. Wenn Du ganz sichergehen willst, mach es abschnittweise für die einzelnen Flächen über und unter der x-Achse.

Danach darfst Du nicht einfach das Integral von g(x) in [-1;1] abziehen! Das ist nämlich die Fläche zwischen der grünen Kurve und der x-Achse, und das wäre zuviel.

Was also ist abzuziehen?

12.08.2014, 11:14

Leopold

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12.08.2014, 11:20

134340

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so?
Danke für das Bild Leopold Freude

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Fläche zwischen rot und blau kannst Du durch das Integral der Differenzfunktion von f und h berechnen.

Danach darfst Du nicht einfach das Integral von g(x) in [-1;1] abziehen! Das ist nämlich die Fläche zwischen der grünen Kurve und der x-Achse, und das wäre zuviel.

Was also ist abzuziehen?

Also so?
$\begin{eqnarray*} A=\int_{-2}^2 \! f(x)-h(x) \, dx -\int_{-1}^1 \! g(x)-h(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Was ist eigentlich mit dem Negativen Teil zwischen [1;2]? Muss ich da noch den Betrag beachten?

12.08.2014, 11:38

Steffen Bühler

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RE: so?

Zitat:

Original von 134340
Also so?
$\begin{eqnarray*} A=\int_{-2}^2 \! f(x)-h(x) \, dx -\int_{-1}^1 \! g(x)-h(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ja, genau so!

Zitat:

Original von 134340
Was ist eigentlich mit dem Negativen Teil zwischen [1;2]? Muss ich da noch den Betrag beachten?

Nein, weil Du ja die Differenz bildest, kann Dir das egal sein. Geometrisch ist das ja der Abstand der beiden Kurven, wo die jetzt im Koordinatensystem nun liegen, ist dann unerheblich.

Viele Grüße
Steffen

12.08.2014, 11:45

134340

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Thx
ok Big Laugh

Danke für deine Hilfe Steffen Freude

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