Lineare Abbildung und Invertierung

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seeker123 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Invertierung
Hallo community,

seien V und W zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Körper K --> C

Ist eine Abbildung eines Vektors v aus V auf einen Vektor w nach W durch eine Invertierung aller Parameter (Vektor v --> x1, y1, z1, Vektor w --> 1/x1, 1/y1, 1/z1) ebenfalls eine lineare Abbildung ?

Thx !

seeker
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung und Invertierung
Eine interessante Frage. Und wenn du uns noch sagst, was dein Problem ist, können wir dir ggf. auch helfen.

Siehe auch: Prinzip "Mathe online verstehen!"

Und ab damit in den Hochschulbereich.
seeker123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung und Invertierung
... ich habe damit kein Problem, das interessiert mich nur Augenzwinkern

soweit ich es verstehe, ist die lineare Abbildung definiert durch die Kriterien:

- sie muß homogen sein: f (ax) = a * f(x)
- sie muß additiv sein: f(x+y) = f(x) + f(y)

oder

f (ax+y) = a * f(x) + f(y)

wenn man z.B. den Einheitskreis als Vektorraum V definiert und daß außen herum als Vektorraum W, ist dann eine Spiegelung am Einheitskreis (=Invertierung) eine lineare Abbildung im formalen Sinne oder nicht ?

Und falls nicht, welche Art der Abbildung ist eine Invertierung ?

Hoffe ich konnte mein Anliegen transportieren ...

Danke vorab für Input,
seeker123
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weder sind der Einheitskreis noch sein Äußeres Vektorräume noch erfüllt die Spiegelung am Einheitskreis eines der beiden Axiome einer linearen Abbildung.

Man kann die Spiegelung am Einheitskreis mit Hilfe komplexer Zahlen beschreiben, indem man in natürlicher Weise als -Vektorraum auffaßt. Wenn man nicht durch zu einem kompakten Raum ergänzen will, muß man auslassen. Mit wäre dann



die komplexe Darstellung der Spiegelung am Einheitskreis (die Überstreichung bezeichne die komplexe Konjugation). Für und gilt dann:



Einen einfachen Ausdruck für habe ich nicht gefunden. Für mit gilt:



Jedenfalls ist von Linearität im Sinne der Linearen Algebra weit weg.
seeker123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, tut mir leid, Dein Beitrag scheint verstümmelt, es fehlen die Ausdrücke ...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weder sind der Einheitskreis noch sein Äußeres Vektorräume noch erfüllt die Spiegelung am Einheitskreis eines der beiden Axiome einer linearen Abbildung.

Man kann die Spiegelung am Einheitskreis mit Hilfe komplexer Zahlen beschreiben, indem man in natürlicher Weise als -Vektorraum auffaßt. Wenn man nicht durch zu einem kompakten Raum ergänzen will, muß man auslassen. Mit wäre dann



die komplexe Darstellung der Spiegelung am Einheitskreis (die Überstreichung bezeichne die komplexe Konjugation). Für und gilt dann:



Einen einfachen Ausdruck für habe ich nicht gefunden. Für mit gilt:



Jedenfalls ist von Linearität im Sinne der Linearen Algebra weit weg.
 
 
seeker123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

vielen Dank nochmal für Deine Antwort, ich konnte Sie jetzt lesen.

Wie wäre denn die korrekte Bezeichnung der Abbildung, wenn ich einen Vektor, diesmal im reellen , z.B. in den Einheitskreis invertiere und ich sowohl die Fläche des (A) Einheitskreises als auch (B) ohne die Fläche des Einheitskreises als eigenständige Räume mit definierten Eigenschaften definieren möchte ? Spiegelung von (B) nach (A) ? Invertierung von (B) nach (A) ?

Danke vorab,
seeker123
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von seeker123


Sinn?

Die Abbildung selbst heißt Spiegelung am Einheitskreis. Sie ist eine spezielle Möbiustransformation. Eine solche nennt man manchmal etwas unglücklich auch "gebrochen-lineare Abbildung". Aber mit Linearität im Sinn der Linearen Algebra hat das nichts zu tun.
seeker123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir !

zum vektor oder

seeker123
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Pfeil hat hier keine sinnvolle mathematische Bedeutung. Ich weiß nicht, was du mit diesen Symbolausdrücken sagen willst.
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