Partialbruchzerlegung mit Polynomdivision

12.08.2014, 13:06

Euestros

Partialbruchzerlegung mit Polynomdivision

Meine Frage:
Hallo,
ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und komme nicht mit der Polynomdivison bei Partialbruchzerlegungen zurecht.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (x^{3} -x^{3} - 9*x^{2} -26x +11) / (x^{2} - 4x -2) \end{eqnarray*}$

Da der Zählergrad > Nennergrad ist, muss ich ja erstmal Zähler durch Nenner mit Polynomdivision teilen.

Dann erhalte ich als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x^{2} + 3*x +5 , Rest= 21 \end{eqnarray*}$

Durch die PQ-Formel sind die Nullstellen des Ergebnisses $\begin{eqnarray*} x_{1} = 2 + \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = 2 - \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich nun aber die Formel mit A und B auf? Wie fließt der Rest der Polynomdivision in die Rechnung mit ein?

Könnte mir jemand den nächsten Schritt der PBZ nennen?

Grüße

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - 4*x +10 = A / (x-(2+\sqrt{6})) + B/(x+(2-\sqrt{6} )) \end{eqnarray*}$

12.08.2014, 13:27

free.dom

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Hallo Euestros!

Also erstmal ist deine Polynomdivision falsch (oder Du hast dich verschrieben).

$\begin{eqnarray*} x^3-x^3-9x^2-26x+11=-9x^2-26x+11 \\<br /> \\<br /> (-9x^2-26x+11) / (x^2-4x-2) = -9 + \frac{-64x-7}{x^2-4x-2}<br /> \end{eqnarray*}$

Der Rest wird einfach hinten dran gehanden und durch dein Polynom dividiert (siehe oben). Du erhälst also folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int -9 + \frac{-64x-7}{x^2-4x-2} \, dx \end{eqnarray*}$

was ja schonmal einfacher als vorheriges ist. Außerdem kann man die -9 in einem getrenntem Integral betrachen und die Sache vereinfacht sich erneut.

Nun ermittelst du die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2-4x-2 \end{eqnarray*}$ . Deine ermittelten Nullstellen stimmen hier schonmal.

Nächster Schritt ist die eigentliche PBZ:

$\begin{eqnarray*} \frac{-64x-7}{x^2-4x-2} = \frac{A}{Nullstelle_1}+\frac{B}{Nullstelle_2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du das hast kannst du durch Formelumstellung (mit beiden Nullstellen multiplizieren) auf die folgende Gleichung kommen:

$\begin{eqnarray*} -64x-7= A*Nullstelle_2+B*Nullstelle_1 \end{eqnarray*}$

Diese lässt sich relativ leicht durch eliminieren von jeweils einem Faktor auflösen (Nullstellen einsetzen). Damit erhältst du dann A und B und kannst diese in die obige Gleichung einsetzen und das ganze dann integrieren.

12.08.2014, 13:28

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung mit Polynomdivision

Zitat:

Original von Euestros
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (x^{3} -x^{3} - 9*x^{2} -26x +11) / (x^{2} - 4x -2) \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} (x^4 -x^3 - 9*x^{2} -26x +11) / (x^{2} - 4x -2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Euestros
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} x^{3} + x^{2} - 4*x +10 = A / (x-(2+\sqrt{6})) + B/(x+(2-\sqrt{6} )) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du darauf gekommen bist.
Der richtige Ansatz für den Rest lautet: $\begin{eqnarray*} \frac{21}{x^2 - 4*x -2} = \frac{A}{x-(2+\sqrt{6})} + \frac{B}{x-(2-\sqrt{6})} \end{eqnarray*}$

EDIT: etwas spät. traurig

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