Matrix orthogonal <=> Spalten sind ONB

12.08.2014, 14:18

Hazienda

Matrix orthogonal <=> Spalten sind ONB

Hallo,

eine Frage hierzu:

i) $\begin{eqnarray*} A \in M(n \times n; K) \end{eqnarray*}$ ist orthogonal bzw. unitär
ii) Die Spalten von A bilden eine ONB von K^n
iii) Die Zeilen von A bilden eine ONB von K^n

i) heißt, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^t \end{eqnarray*}$ im euklidischen Raum.

ii) heißt, dass $\begin{eqnarray*} A^t \cdot A = E_n \end{eqnarray*}$ , d.h. ich multipliziere A mit der transponierten von A und erhalte die Einheitsmatrix, aber wieso sagt mir das, dass die Spalten eine OrthoNORMALbasis bilden? Wieso sind sie normiert?

iii) heißt doch dasselbe wie ii oder?!

12.08.2014, 19:00

Guppi12

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Für eine beliebige quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M(n\times n, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist der i. Diagonaleintrag von $\begin{eqnarray*} A^tA \end{eqnarray*}$ genau das Quadrat der euklidischen Norm des Vektors, der in der i. Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ steht. Das kann man einfach nachrechnen. Deswegen die Normiertheit.

13.08.2014, 01:19

RavenOnJ

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RE: Matrix orthogonal <=> Spalten sind ONB

Zitat:

Original von Hazienda

iii) heißt doch dasselbe wie ii oder?!

Das wäre zu zeigen, denn es ist nicht selbstverständlich. Du könntest es so begründen:

$\begin{eqnarray*} \text{Spalten von $A$ bilden ONB }\Leftarrow A^T A = A^{-1} A = E = A A^{-1} = A A^T\Rightarrow \text{ Zeilen von $A$ bilden ONB } \end{eqnarray*}$

Also bilden sowohl die Zeilen, als auch die Spalten eine ONB.

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