Hesse-Matrix, Eigenwerte, Extrema

12.08.2014, 21:17

JensSkywalker

Hesse-Matrix, Eigenwerte, Extrema

Hallo,

Ich möchte eine Funktion auf Extremwerte untersuchen. Ich setze den Gradienten = 0 und der Punkt $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ "kommt heraus".

Die Hesse-Matrix ist wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\sqrt{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich meine, jetzt müsse ich die Determinante ausrechnen und gucken.
Mein Lösungsbuch berechnet jetzt die Eigenwerte hiervon:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\sqrt{3}-\lambda & -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\sqrt{3}-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^{2}+ 2\sqrt{3}\lambda + \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$
Und hiervon dann die Nullstellen.

Wieso macht man das auf einmal?
Danke

Gruß

12.08.2014, 21:18

Stefan03

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Weil man auch über die Eigenwerte etwas über die Definitheit der Hesse-Matrix aussagen kann

12.08.2014, 21:20

bijektion

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Du musst doch bestimmen, ob die Hesse-Matrix positiv oder negativ definit ist smile

12.08.2014, 21:20

JensSkywalker

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Reicht da denn nicht einfach die Determinante zu berechnen?

Wann muss ich denn diese Variante nehmen?

12.08.2014, 21:51

bijektion

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Zitat:

Wann muss ich denn diese Variante nehmen?

Die Variante mit den Eigentwert ist doch recht ergiebig. Was willst du denn mit der Determinante machen?

12.08.2014, 22:00

JensSkywalker

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Sorry, das war falsch ausgedrückt.

Bestimme ich die Definitheit immer, indem ich ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ subtrahiere und dann die Nullstellen ausrechne?

12.08.2014, 23:02

bijektion

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Das charakteristische Polynom einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \mathrm{char}_A(\lambda):=\det(A-\lambda\cdot E_n) \end{eqnarray*}$ .
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und nach einem Satz ist äquivalent:
1) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist positiv definit
2) Für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{char}_A(\lambda)=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ .

12.08.2014, 23:54

JensSkywalker

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Ah okay, danke!

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