Gleichung dritten Grades vereinfachen

13.08.2014, 13:01

MathePauker

Gleichung dritten Grades vereinfachen

Ich sitze gerade an dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f:x \rightarrow 4x^{3}-6x^{2}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:x \rightarrow 2(2x^{3}-3x^{2}+1) \end{eqnarray*}$

Ich möchte die Gleichung aber wie im Buch vorgegeben bis zur Form

$\begin{eqnarray*} f:x \rightarrow 2(x-1)^{2}(2x+1) \end{eqnarray*}$

vereinfachen.
Wie komme ich aber dazu?? Ich habe schon versucht mit Hilfe der Polynomdivision den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (2x^{3}-3x^{2}+1) \end{eqnarray*}$ in zwei geklammerte Faktoren zu zerlegen (erfolglos). Bin da gerade sehr ratlos...

13.08.2014, 13:02

Equester

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Deine Idee mit der Polynomdivision ist zielführend.
Finde eine Nullstelle (durch Raten) und dann die Polynomdivision durchführen. Probiers, ich schau zu Augenzwinkern

13.08.2014, 13:48

MathePauker

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Die Polynomdivision habe ich (wie oben schon erwähnt) erfolglos versucht an zu wenden. Es löst sich allerdings ab einer bestimmen stelle nichts mehr auf:

13.08.2014, 13:51

Equester

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Deswegen wollte ich es ja sehen Augenzwinkern

.

Warum hast du in der ersten ausgerechneten Zeile 2x^2-3x^2 stehen? Das rechne zusammen. Dann wird das ganze einfacher.

13.08.2014, 13:55

MathePauker

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Wo steht 2x²-3x² ? Du meinst die umgeformte Gleichung 2x³ -3x² + 1 oder? Ich kann doch zwei Unbekannte mit unterschiedlichem Exponenten nicht addieren

13.08.2014, 14:06

Equester

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Ich meinte das bei dir in der dritten Zeile der Polynomdivision.
Das passt nicht bzw. sollte vereinfacht/zusammengefasst werden Augenzwinkern

13.08.2014, 14:29

MathePauker

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Ach entschuldige, klar!

(Korrektur: siehe Dateianhang!)

Nun frage ich mich aber immer noch wie ich auf die Form
$\begin{eqnarray*} 2(x-1)^{2}(2x+1)) \end{eqnarray*}$
komme? : (
Ich komm beim besten Willen nicht dahinter...

13.08.2014, 14:35

Equester

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Nana, $\begin{eqnarray*} 1-x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

Hier ist der Trick sich 0x zu denken! Augenzwinkern

Ich zeig dir das mal (wollt ich immer schonmal probieren, den Latexcode smile

)

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \polyset{style=C, div=:,vars=x} \polylongdiv{2x^3-3x^2+1}{x-1}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Ui, schick siehts aus Big Laugh

13.08.2014, 14:42

MathePauker

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Meine Güte... Heute ist einfach nicht mein Tag! Danke für deine ausführliche Rechnung und die Geduld!

13.08.2014, 14:43

Equester

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Wie man die Sache vollends beendet ist klar? Augenzwinkern

13.08.2014, 15:46

MathePauker

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Ja:

$\begin{eqnarray*} 2x^{3}-3x^{2}+1 = (x-1)\cdot (2x^{2}-x-1) \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} (2x^{2}-x-1) \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann durch rumprobieren:

$\begin{eqnarray*} (2x^{2}-x-1) = (2x+1)\cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Daher:
$\begin{eqnarray*} 2x^{3}-3x^{2}+1 = (2x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^{3}-3x^{2}+1 = (2x+1)\cdot (x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Mit dem Faktor 2 aus der Ausgangsgleichung ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} 2(x-1)^{2}\cdot(2x+1) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank Equester! smile

14.08.2014, 01:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Equester

Ich zeig dir das mal (wollt ich immer schonmal probieren, den Latexcode smile

)

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \polyset{style=C, div=:,vars=x} \polylongdiv{2x^3-3x^2+1}{x-1}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Ist ja cool, jetzt hab ich mal wieder was an Latex gelernt. Wusste gar nicht, dass in dem Renderer ein kleiner Rechner eingebaut ist:
Noch ein Test:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \polyset{style=C, div=:,vars=x} \polylongdiv{2x^3-4x^2+1}{x-1}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Edit: Sehe gerade, das ist ein spezielles Package.

14.08.2014, 10:03

Equester

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@MathePauker: Genau Freude

@RavenOnJ: Das wurde mal vor Jahren eingebaut (ist an mir vorbei gegangen). Habe es dann "letztens" (vor nem halben Jahr^^) gesehen und wollte es schon immer mal ausprobieren. Erst gestern ergab sich die Möglichkeit :P.

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