Stetigkeit / Grenzwert zweier Veränderlicher

13.08.2014, 22:30

X2Z

Stetigkeit / Grenzwert zweier Veränderlicher

Hey Boardianer,

Ich habe eine Frage und da kommt schon die Aufgabe dazu:

Betrachten sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{1}{3} x^3 + y^3 - 12y \end{eqnarray*}$
1) Überprüfen sie f auf Stetigkeit.

Stetigkeit ist bei mir in der Vorlesung wie folgt definiert:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} z \in D \end{eqnarray*}$ , falls für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (z_n)_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ konvergieren, gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(z_n)} = f(z) \end{eqnarray*}$ .

Also prinzipiell weiß ich was ich tun muss:

1) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{z_n} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wobei gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{z_n} = z = (a,b) \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = b \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

3) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(z_n)} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

4) Überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(z_n)} = f(z) \end{eqnarray*}$

Und so sieht die praktische Umsetzung aus:

1*) Also zunächst brauch ich ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , die darf ich mir dan frei wählen, richtig? Will ich dan wissen ob die Funktion z.B. im Punkt (0,0) einen Grenzwert hat, wählen ich zwei Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , wobei gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = 0 \end{eqnarray*}$ . Will ich wissen ob ein Grenzwert im Punkt (1,1) liegt, wähle ich zwei Folgen für die $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt und so weiter, stimmt das so ?
Sage wir mal ich interessiere mich für den Punkt (0,0), also nehme ich $\begin{eqnarray*} a_n =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{z_n} = z = (0,0) \end{eqnarray*}$

2*) $\begin{eqnarray*} f(z) = f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

3*) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(z_n)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(a_n,b_n)}= \frac{1}{3n^3} + \frac{1}{n^3} - 12 \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

4*) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(z_n)} = 0 = f(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Funktion ist stetig im Punkt (0,0). Richtig?

Aber die Frage ist ja ob die Funktion stetig ist und nicht ob sie stetig ist im Punkt (0,0), wie soll ich das da machen, ich kann ja nicht alle möglichen Punkte abklappern?

Ganz allgemein könnte ich ja sagen, es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} {f(z_n)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} {f(a_n,b_n)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{3} {a_n}^3 + {b_n}^3 - 12{b_n}} = \frac{1}{3} {a}^3 + {b}^3 - 12{b} = f(z) \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = b \end{eqnarray*}$ . Das scheint mir aber doch etwas zu einfach um richtig zu sein.

MfG X2Z smile

13.08.2014, 22:41

Gast11022013

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Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig.

13.08.2014, 22:49

X2Z

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Das alleine würde schon als Antwort reichen? Ich glaube man erwartet da einen etwas ausführlicheren Weg, wenn ich mir so die Punkte (2/30 pt) anschaue die dafür vergeben werden Augenzwinkern

13.08.2014, 22:51

Gast11022013

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Es sollte als Antwort ausreichen.

13.08.2014, 23:06

X2Z

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Okay, Vielen Dank dan Gmasterflash smile

das war das mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{( a_n - b_n)} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{ a_n} - \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} \end{eqnarray*}$ richtig?

13.08.2014, 23:09

Gast11022013

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Unter dem Vorbehalt, dass die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ konvergieren stimmt das, ist aber nicht das worauf es hinausläuft.

Es geht eben darum, dass Verkettungen stetiger Funktionen stetig sind. Das solltet ihr in Ana I bewiesen haben, als ihr die Stetigkeit behandelt habt und deine Funktion ist lediglich eine solche Verkettung stetiger Funktionen.
Fasst du jeden Summanden als eigene Funktion auf, so siehst du direkt, dass diese stetig sind.

13.08.2014, 23:13

X2Z

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Okay, das schlag ich dan nochmal nach, müsste ja irgendwo zu finden sein. Bin mir aber au ziemlich sicher das ich das schon mal gehört habe, auch wenn ichs gerade nicht mehr genau im Kopf habe was das war Augenzwinkern

13.08.2014, 23:18

Gast11022013

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Der Satz ist eigentlich relativ wichtig und nützlich. Damit spart man sich halt Rechnerei. Normalerweise hat man ja auch irgendwie eine Stückweise definierte Funktion wie

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}<br /> <br /> f(x,y)=\begin{cases} 0,\text{wenn} (x,y)=(0,0)\\ \frac{xy}{x^2+y^2},\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Hier müsstest du zum Beispiel dann die Stetigkeit in (0,0) überprüfen. Für alle anderen Paare ist die Funktion sowieso stetig, da es auch wieder eine Verkettung stetiger Funktionen ist.

14.08.2014, 12:19

magic_hero

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RE: Stetigkeit / Grenzwert zweier Veränderlicher
Ich hätte noch einen kleinen Hinweis zu einem Punkt, der so nicht richtig ist (der nicht direkt die oben erarbeitete Lösung betrifft, aber fürs generelle Verständnis schon wichtig ist):

Zitat:

Original von X2Z
1*) Also zunächst brauch ich ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , die darf ich mir dan frei wählen, richtig? Will ich dan wissen ob die Funktion z.B. im Punkt (0,0) einen Grenzwert hat, wählen ich zwei Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , wobei gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = 0 \end{eqnarray*}$ . Will ich wissen ob ein Grenzwert im Punkt (1,1) liegt, wähle ich zwei Folgen für die $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt und so weiter, stimmt das so ?
Sage wir mal ich interessiere mich für den Punkt (0,0), also nehme ich $\begin{eqnarray*} a_n =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{z_n} = z = (0,0) \end{eqnarray*}$

Du darfst die Folgen nicht wählen. Schau noch mal in die Definition: Dort steht, dass die Aussage für alle konvergenten Folgen gelten muss, damit wir die Funktion als stetig bezeichnen. Du kannst dir also nicht irgendeine aussuchen, sondern musst alle betrachten.
Anders formuliert: Du musst das für eine beliebige Folge zeigen und nicht für eine beliebige. Mach dir diesen Unterschied klar, das ist sehr wichtig.

14.08.2014, 15:46

X2Z

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Ah stimmt dan müsste ich ja zeigen das es für jeden möglichen Punkt mit jeder möglichen Folge gilt, das wäre auch zu viel. Ich hab das mit den verketteten Funktionen jetzt nach etwas suchen gefunden. Stimmt es das man sagen kann das so ziemlich jede Funktion die einen so normalerweise unterkommt stetig ist, solang ausgeschlossen ist das man durch 0 teil? Z.B. $\begin{eqnarray*} y sin(1/x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist stetig weil y stetig ist, $\begin{eqnarray*} sin(1/x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist und die beide mit einander verkettet sind ?

Vielen Dank euch beiden smile

15.08.2014, 12:33

magic_hero

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Zitat:

Original von X2Z
Stimmt es das man sagen kann das so ziemlich jede Funktion die einen so normalerweise unterkommt stetig ist, solang ausgeschlossen ist das man durch 0 teil?

Na ja, kommt darauf an, was bei dir "normalerweise" so vorkommt. Augenzwinkern

Normalerweise hät man fest, dass Polynome, die e-Funktion, Sinus und Cosinus stetig sind, und dann Verkettungen davon. Damit hat man zumindest mal das gröbste abgedeckt.

Zitat:

Original von X2Z
Z.B. $\begin{eqnarray*} y sin(1/x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist stetig weil y stetig ist, $\begin{eqnarray*} sin(1/x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist und die beide mit einander verkettet sind ?

Na ja, du könntest das Argument beim Sinus noch zerlegen: Einerseits ist der Sinus stetig, andererseits auch 1/x (für x ungleich 0) und dann eben auch die Verkettung von beidem für x ungleich 0. Aber im Prinzip schon richtig so.

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