Konvergenz von Reihen

14.08.2014, 13:25

simon_0494

Konvergenz von Reihen

Hallo zusammen,
bräuchte nochmal eure Hilfe verwirrt

Man soll zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$
Absolut Konvergent bedeutet ja nun das auch die "Betragssummen" konvergieren stimmts?
Habe zuerst versucht es mit dem Quotientenkriterium anzugehen bin jedoch gescheitert.
Nun bin ich am überlegen das Ganze mit dem Leibnizkriterium zu lösen, also zu zeigen, das
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Zum Beispiel für 0 <= |x| <= 1 ist das doch der Fall, für |x| > 1 aber nicht oder?

Die Aufgabenstellung jedoch behauptet die Reihe ist für alle x Element aus den Rellen Zahlen absolut konvergent.

Vielen Dank in Vorraus! smile

14.08.2014, 13:45

Captain Kirk

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Hallo,

versuch es doch nochmal mit dem Quot.kriterium, damit funktioniert's.
Wie du richtig erkannt hast kann man das Leibnizkriterium für |x| >1 nicht anwendbar, das heißt aber nicht, dass die Reihe nicht konvergiert.
Davon abgesehen macht die Leibniizkriterium keinerlei Aussage über die absolute Konvergenz der Reihe, nur bzgl. Konvergenz.

14.08.2014, 14:01

simon_0494

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okey vielen Dank werds mal versuchen!
Noch was allgemeines: Kann ich nicht einfach die Reihe in Betrag setzen und dann das Leibnizkriterium anwenden? Und muss ich nun die Reihe in Betrag setzen und dann das Quotientenkriterium anwenden oder ist das dann egal ?

14.08.2014, 14:03

HAL 9000

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In einem erweiterten Sinne ist schon Leibniz anwendbar: Wenn man die Monotonie nicht sofort ab Index $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ , sondern erst ab einem Index $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ fordert - was ja auch für die Konvergenz ausreicht. Augenzwinkern

Aber zweifelsohne ist das Quotentienkriterium hier die klar bessere Wahl, macht argumentativ viel weniger Probleme.

14.08.2014, 14:32

simon_0494

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Okey alles klar dankeschön!

bin mit dem Quotientenkriterium jetzt allerding hier und komme nicht weiter:
lim n -> undenlich |(x^2)/(2n+2)|

Grüße,
Simon

14.08.2014, 14:43

Captain Kirk

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Du hast den Quotienten falsch berechnet du hast (2n)! nicht 2(n!) im Term.

In dem Limes ist x fest (also irgendeine von n unabhängige Zahl).