Quantile bei gegebener Dichtefunktion berechnen...

14.08.2014, 21:10	Helmi121	Auf diesen Beitrag antworten »
Quantile bei gegebener Dichtefunktion berechnen... Hallo, folgendes Problem: Gegeben sei die stetige Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit der Dichte: $\begin{eqnarray} f(x) = x~; ~ 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = 0.5~; ~ 2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = 0~; ~ sonst \end{eqnarray}$ Gesucht ist das 0.9 Quantil. Also zuerstmal die Verteilungsfunktion aufstellen: $\begin{eqnarray} F(X) = \int_{-\infty}^0f(x)dt + \int_0^1f(x)dt + \int_2^xf(x)dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(X) = 0 + ( 0.51^2- 0.50^2 ) + ( 0.5x - 0.52) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(X) = 0.5 + ( 0.5x - 1) \end{eqnarray}$ Das 0.9-Quantil wäre dann: $\begin{eqnarray} 0.9 = 0.5 + ( 0.5x - 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1.4 = 0.5x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 2.8 \end{eqnarray*}$ Stimmt die Rechnung so?
15.08.2014, 08:55	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quantile bei gegebener Dichtefunktion berechnen... Hallo, So wie ich das sehe, passt das. Wie würdest du allerdings vorgehen, wenn du zum Beispiel das 0.4-Quantil berechnen sollst? Viele Grüße
19.08.2014, 21:42	Helmi121	Auf diesen Beitrag antworten »
Das 0.4-Quantil. OK, mein Vorgehen wäre wie folgt: $\begin{eqnarray} F(X) = \int_{-\infty}^0f(x)dt + \int_0^1f(x)dt + \int_2^xf(x)dt \end{eqnarray}$ Das war meine alte Verteilungsfunktion. Oben habe ich ja gesehen, dass bei $\begin{eqnarray} X=1 \end{eqnarray}$ bereits das 0.4 Quantil überschritten ist, also kann mich nur folgender Bereich interessieren: $\begin{eqnarray} F(X) = \int_{-\infty}^0f(x)dt + \int_0^xf(x)dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(X) = 0 + \int_0^xf(x)dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.4 = 0 + (0.5 x^2 - 0.5 * 0^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.4 = 0.5 * x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.8 = x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.8944 \approx x \end{eqnarray}$ Das 0.4 Quantil wäre demnach bei $\begin{eqnarray} X \approx 0.8944 \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, das ist so richtig gedacht?
20.08.2014, 08:48	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit den Variablen x und t musst Du exakt arbeiten. Deine Integrationsvariable ist t, aber ich sehe kein t in den Integralen. Ansonsten sind Deine Rechnungen von den Ergebnissen richtig

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