Eigenwerte und Basen einer Matrix aus Alpha und Beta

15.08.2014, 11:05

Gnatz

Eigenwerte und Basen einer Matrix aus Alpha und Beta

Moin!

ich versuche gerade eine Aufgabe aus einer alten Klausur zu lösen.

Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \beta & \alpha \end{pmatrix} & \alpha, \beta \in \mathbb{R} & \alpha \neq \beta \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Basen der Eigenräume der Matrix A.

Leider komme ich mit dem ursprünglichen Ansatz $\begin{eqnarray*} Det(\lambda E - A) = 0 \end{eqnarray*}$ nicht weiter.

Mein Ergebnis der Determinante ist:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda ^2 - 2\lambda\alpha + \alpha^2 - \beta^2 \end{eqnarray*}$

Das kann ja aber gar nicht stimmen, da ich 3 Unbekannte habe und nur eine Gleichung.

Kann mir jemand sagen wie ich die Aufgabe lösen könnte?

15.08.2014, 11:17

bijektion

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Warum solltest du 3 Unbekannte haben?
Du musst diese quadratische Gleichung lösen und dabei die möglichen Fälle für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

15.08.2014, 11:20

Gnatz

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Okay.
Könntest du mir sagen wie ich das machen kann?

d.h. mein Ansatz mit der Determinante ist richtig?

15.08.2014, 11:36

Gnatz

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Ich glaube ich hab es schon:

ich kann mit der PQ-Formel die Gleichung auflösen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = alpha + - \sqrt{\alpha^2 - (\alpha^2 - \beta^2)} \end{eqnarray*}$

das löst sich auf in:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = alpha + - \sqrt{\beta^2} \end{eqnarray*}$

und das ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = alpha + \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = alpha - \beta \end{eqnarray*}$

richtig?

15.08.2014, 11:56

klarsoweit

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Nun ja, für negative beta könntest du ein Problem bekommen. smile

15.08.2014, 12:10

Gnatz

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Das berechnete $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann man dann in die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} A * \vec{x} = \lambda E * \vec{x} \end{eqnarray*}$

einsetzen und erhält, wenn dem man nach x und y auflöst:
für

$\begin{eqnarray*} \lambda = \alpha + \beta \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

und für:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \alpha - \beta \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x = -y \end{eqnarray*}$

Wieso ein Problem bei negativem Beta?

15.08.2014, 12:28

klarsoweit

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Sorry, mein Fehler. Hammer

Durch das plus-minus vor der Wurzel sind ja alle Fälle abgedeckt.

Ich schieb das dann mal in den Hochschulbereich.

28.07.2015, 14:10

Mathetime

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Hallo,
ich sitze gerade an genau der gleichen Aufgabe.
Vielleicht kann mir jemand helfen, wie man von
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2+\alpha ^2-2\lambda \alpha -\lambda ^2-\beta ^2 \end{eqnarray*}$
zu der pq formel kommt, die dort steht ?

Und warum gibt es 3 alphas dann? wenn nur 2a und a^2 dort stehen?
Danke für eure Hilfe smile

28.07.2015, 14:12

Mathetime

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Oh ja ich seh gerade, das eine $\begin{eqnarray*} -\lambda ^2 \end{eqnarray*}$ ist zu viel, was ich in den Post geschrieben habe Augenzwinkern

28.07.2015, 14:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathetime
Vielleicht kann mir jemand helfen, wie man von
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2+\alpha ^2-2\lambda \alpha -\lambda ^2-\beta ^2 \end{eqnarray*}$
zu der pq formel kommt, die dort steht ?

Wenn ich das richtig verstehe, bezieht sich deine Frage auf die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 2 \lambda \alpha + \alpha ^2 - \beta^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Du mußt doch jetzt nur die Koeffizienten dieser Gleichung in die pq-Formel einsetzen.

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