Rechenregeln für limes Beweis Frage

15.08.2014, 13:16	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln für limes Beweis Frage Hi, mein Prof hat folgendes Kriterium eingeführt, das hilfreich sein soll, um die Rechenregeln für Grenzwerte zu beweisen: Sei $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge komplexer Zahlen und $\begin{eqnarray} c\in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Ferner gebe es $\begin{eqnarray} A, B \geq 0 \end{eqnarray}$ und Nullfolgen $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ nichtnegativer reeller Zahlen, sodass $\begin{eqnarray} \|c_{n} - c\| \leq Aa_{n} + Bb_{n} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} c_{n}=c \end{eqnarray}$ . Fragen: Seien $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ Folgen komplexer Zahlen mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_{n} = b \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} +b_{n} = a + b \end{eqnarray}$ . Beweis dazu: $\begin{eqnarray} \|a_{n} +b_{n} -(a+b)\| \leq \|a_{n} -a\| + \|b_{n} -b\| \end{eqnarray}$ . Mein Prof schreibt dahinter einfach "Jetzt Kriterium anwenden". Aber $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ werden nicht als Nullfolgen vorausgesetzt und es wird auch nicht vorausgesetzt, dass diese Folgen nichtnegativ sein müssen. Dann darf man das Kriterium doch garnicht anwenden?!
15.08.2014, 13:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte $\begin{align} \alpha_n = \left\| a_n - a \right\| , \ \ \beta_n = \left\| b_n - b \right\| \end{align}$ Dann hast du deine Nullfolgen nichtnegativer reeller Zahlen. Und mit $\begin{align} A=1, B=1 \end{align}$ und $\begin{align} \alpha_n,\beta_n \end{align}$ statt $\begin{align} a_n,b_n \end{align}$ paßt das auf das Kriterium.
15.08.2014, 13:41	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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