DGL mit dreifachem Eigenwert mit der Jordan-Normalform lösen

15.08.2014, 14:14	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit dreifachem Eigenwert mit der Jordan-Normalform lösen Meine Frage: Hallo, ich möchte gerne ein Differentialgleichungssystem lösen und komme nicht weiter. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zuerst habe ich natürlich die Eigenwerte (EW) berechnen und kam auf den dreifachen EW 1. Leider kann ich dann im Anschluss keine drei linear unabhängigen Eigenvektoren (EV) bestimmen. Einen erhalte ich, durch das gewohnt Verfahren: $\begin{eqnarray} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass man auf System der Form x'=Ax mit nicht diagonalisierbarem A die Jordan-Normalform anwenden kann. $\begin{eqnarray} (A-1E)v_{2}=v_{1} \end{eqnarray}$ , wobei E die Einheitsmatrix (3x3) darstellt. Ich habe aber irgendwas nicht richtig verstanden, jedenfalls klappt das irgendwie nicht so wirklich. Das wäre dann ja schließlich nichts anderes als: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich komme einfach nicht auf linear unabhängige Vektoren. Kann da bitte jemand Licht ins dunkel bringen bzw. mir das Brett vor dem Kopf wegnehmen?? Vielen Dank schon mal im Voraus AnnaFelicia
15.08.2014, 14:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL mit dreifachem Eigenwert mit der Jordan-Normalform lösen Du brauchst jetzt die Hauptvektorkette zum Eigenwert 1. Also den Kern von $\begin{eqnarray} (A-1E)^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (A-1E)^3 \end{eqnarray}$ . Siehe auch: [url]http://de.wikipedia.org/wiki/ Fundamentalsystem_%28Mathematik%29#Konstruktion_eines_Fundamentalsystems[ /url]
15.08.2014, 15:46	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL mit dreifachem Eigenwert mit der Jordan-Normalform lösen Das bedeutet quasi: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann würde ich z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Muss ich das jetzt nochmal "hoch 3" nehmen oder reicht das, wenn ich das für den dritten machen möchte und würde der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ reichen?? Da das der ja auch gehen würde. Erstmal viiiiielen Dank - das hat schon mal einiges gebracht.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »