Primärzerlegung, p-primärer Teil, Beweis

15.08.2014, 15:58	Primarydecomposition	Auf diesen Beitrag antworten »
Primärzerlegung, p-primärer Teil, Beweis Meine Frage: Hallo zusammen! Ich plage mich gerade mit dem (wahrscheinlich recht einfachen) Beweis einer Teilmengenbeziehung. Situation: ich habe einen endlich erzeugten Torsionsmodul $\begin{eqnarray} M=[m_1, \ldots , m_n] \end{eqnarray}$ über einem HIR R (Wobei die eckigen KLammern hier Erzeugnisklammern sind). Der Erzeuger des Annulatorideals $\begin{eqnarray} Ann(M)=(a) \end{eqnarray}$ lässt sich in paarweise nicht assozierte, irreduzible Elemente aus dem Ring zerlegen. Sei p eines dieser Elemente. Ich ordne die Primelemente von a so an, dass p zur Potenz, in der es in a vorkommt, vorne steht, also $\begin{eqnarray} a=p^e\cdot a' \end{eqnarray}$ . Desweiteren heißt $\begin{eqnarray} M(p):=\{m \in M \mid \exists k \in \mathbb{N} \quad\mbox{mit}\quad p^km=0_M \} \end{eqnarray}$ der p-primäre Teil von M. Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray} M(p)=a'\cdot M =:M' \end{eqnarray}$ ist. Das habe ich mir in den Kopf gesetzt, über Teilmengenzeuch zu zeigen, und die Richtung $\begin{eqnarray} M' \subseteq M(p) \end{eqnarray}$ ist ja auch nicht schwer. Bei der anderen Richtung bin ich mir nicht sicher. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \mbox{zz.:}\quad M(p) \subseteq M' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{sei}\quad m \in M(p) , \quad\mbox{dann ist}\quad p^km=O_M \quad\mbox{für ein}\quad k \in \mathbb{N}, \quad\mbox{also}\quad 0_M=p^km=p^k\left(\sum_{i=1}^nr_im_i \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{für\quad} r_i \in R.\quad\mbox{es ist also weiter}\quad 0_M=p^kr_1m_1 + \cdots + p^kr_nm_n. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow p^kr_i \in (a)\quad \forall i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow p^kr_i=\underbrace{p^ea'}_{=a}\tilde{r_i} \quad \forall i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow r_i \in (a') \quad \forall i \quad \Rightarrow m=a'\left(\sum_{i=1}^nr'_im_i\right) \Rightarrow m \in M' \Rightarrow \mbox{Beh.} \end{eqnarray}$ Ja nun. Zu meiner Entschuldigung, falls dies völliger quatsch sein sollte (und zur Entschuldigung dass ich das im Moment nicht erkenne snief) gebe ich an, dass ich Beweistechnisch ganz schön aus der Übung bin, seit Juni hab ich nix mehr gemacht traurich Also sollte eine nette Person hier mir weiterhelfen können... vielen Dank im Voraus!!
15.08.2014, 22:09	Primarydecomposition	Auf diesen Beitrag antworten »
beweis gefunden oookey danke fürs anschauen, habe den richtigen Weg gefunden, was da oben steht ist wahrscheinlich wirklich völliger quatsch. Mein Hirn hat halt was länger gebraucht nach der Pause grins Bis zum nächsten mal!

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