Unterschied globale und lokale Extremstellen

15.08.2014, 22:01

JuliaEs

Unterschied globale und lokale Extremstellen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Unterschied zwischen globalen und lokalen Extremstellen. Mir ist klar, dass nur lokale Extremstellen auch globale Extremstellen sein können, aber ich weiß nicht genau wie ich herausfinde ob die lokale Extremstelle auch global ist....

Meine Ideen:
Vielleicht zur Erläuterung eine Aufgabe aus meinem Skript:
$\begin{eqnarray*} <br /> f:\left[-1;1\right] \Rightarrow R \Rightarrow 4x*\left(1-x\right) <br /> \end{eqnarray*}$

Mir ist bewusst, dass x=0,5 eine lokale Extremstelle ist. Ist sie denn auch global?Wenn ja warum?

15.08.2014, 22:19

bijektion

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Soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f[-1,1]\to \mathbb{R}, x\mapsto 4x\dot (1-x) \end{eqnarray*}$ heißen?

Nun wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine lokale Exstremstelle einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:I \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist (sagen wir ein lokales Maximum), dann gibt es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x_0) \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in U(x_0) \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ein globales Maximum, falls $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ gilt.

15.08.2014, 22:23

JuliaEs

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Ja genau, so sollte die Funktion aussehen... Bin noch etwas ungeübt mit dem Formeleditior hier.
Ehrlich gesagt verstehe ich das nicht so ganz. Wie müsste ich das denn in dem Beispiel analysieren??

15.08.2014, 23:35

Dopap

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bei stetigen Funktionen bestimmst du in der Praxis die Werte aller relativen Extrema und bestimmst zusätzlich die Werte an den Intervallgrenzen.

Und jetzt wird einfach per Hand nachgeschaut was global das Größte (Kleinste ) ist.

Ein globales Extrema kann auch mit einem lokalen Extrema zusammenfallen.

16.08.2014, 00:02

JuliaEs

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Achso!! Also sind dann die Werte an den Intervallgrenzen globale Extrema?

16.08.2014, 10:24

bijektion

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Zitat:

Achso!! Also sind dann die Werte an den Intervallgrenzen globale Extrema?

Nur wenn sie größer (bei einem globalen Maximum) oder kleiner (bei einem globalen Minimum) sind.