Torus parametrisieren

16.08.2014, 16:18

Rebreg

Torus parametrisieren

Ich soll einen Torus mit Radius R (O zum Zentrum des rotierten Kreises) und r. Disen soll ich parametrisieren.
In der Musterlösung wird der kleine Kreis mit einer Matrix multipliziert:
Dies ist der kleine kreis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} R+rsin(\alpha ) \\ 0 \\ rcos(\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da verstehe ich schon mal nicht warum die x komp. sinus und nicht cosinus enthält.
Dann die vollständige Parametrisierung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\gamma & -sin\gamma &0\\ sin\gamma & cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R+rsin(\alpha ) \\ 0 \\ rcos(\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann Matrixmult.
Wie komme ich auf diese Matrix?
Danke!!

17.08.2014, 03:59

Che Netzer

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RE: Torus parametrisieren

Zitat:

Original von Rebreg
Da verstehe ich schon mal nicht warum die x komp. sinus und nicht cosinus enthält.

Man könnte Sinus und Cosinus auch vertauschen. Das würde immer noch den gleichen Kreis parametrisieren und nur die "Richtung" ändern, in der er durchlaufen wird.

Zitat:

Wie komme ich auf diese Matrix?

Das ist eine Rotationsmatrix. Die Multiplikation mit ihr (von links) bewirkt für den entsprechenden Vektor eine Rotation um den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse. Du hast also deinen kleinen Kreis in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Ebene. Den drehst du dann einmal um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Ebene (wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von Null bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ geht), wodurch ein Torus entsteht.

Das war auch genau die Idee der Parametrisierung: Man schneidet sich einen Kreis aus dem Torus heraus (denn Kreise kann man bereits parametrisieren) und dreht diesen einmal herum. Zum Herumdrehen verwendet man die Rotationsmatrix.

17.08.2014, 10:17

Rebreg

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Okay, danke. Das ist eigentlich nicht anderes als die Darstellungsmatrix der Abbildung des kleinen Kreises "auf die gesamte Umdrehung", oder?!

17.08.2014, 12:06

Che Netzer

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Es ist die Darstellungsmatrix der Rotation u m den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse.

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