Zerlegung der eins

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Einsling Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung der eins
Hey JO, ich versuche grade die Zerlegung der Eins zu verstehen die man ja benutzt für die Integration auf Mannigfaltigkeiten. Da gibt es aber bestimmt eine ein dimensionale analogie für die normale Schulintegration oder? Also mit dem üblichen Ingetral. Kann mir jemand erklären wo da der Zusammenhang ist?

Gruß
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider nur raten, was du meinst... Aber ich versuche es mal:

Im Eindimensionalen geht es ja im Wesentlichen um Integration über Kurven.
– Stell dir zunächst vor, dass du diese Kurve so zurechtbiegen kann, dass sie gerade ist. Dann kannst du die Integration durch dieses "Zurechtbiegen" auf die ganz normalen Ana1-Integrale zurückführen (nur halt für Differentialformen).
– Bei einem Kreis ginge das nicht mehr. Ist die gegebene Differentialform aber auf Teilstücken der Kurve Null, so kann man diese ignorieren/entfernen, denn sie tragen ohnehin nicht zum Integral bei. Vielleicht kann man die Kurve also nach Entfernen solcher Teilstücke zu einem Geradenstück zurechtbiegen.
– Klappt auch das nicht, so schreibt man die Differentialform eben als Summe von anderen Differentialformen, für welche es doch klappt. Das geschieht mit einer Zerlegung der Eins.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung der eins
Vielleicht ist dir unklar, warum man überhaupt auf Mannigfaltigkeiten zu diesem Mittel greifen muss. Man kann i.d.R. auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kein globales Koordinatensystem definieren, nur mehrere lokale (Karten). Will man jetzt auf der Mannigfaltigkeit integrieren, so muss man die lokalen Koordinatensysteme benutzen. Die Karten überlappen sich aber. Will man über einem Gebiet mit mehreren Karten integrieren, so definiert man eine "Zerlegung der Eins" auf den Karten, d.h. für jede Karte (mindestens) eine eigene Funktion (nenne ich mal Zerlegungsfunktion), die mindestens in dem Gebiet, auf dem nur eine Zerlegungsfunktion definiert ist, den Wert 1 hat. Auf Überlappungsgebieten von zwei oder mehr Karten oder dort, wo mehrere Zerlegungsfunktionen definiert sind, muss die Summe dieser Funktionen 1 ergeben.

Eine eindimensionale Analogie zwecks Berechnung eines Riemann-Integrals kann man zwar konstruieren, sie ist aber unnötig. Nichtsdestotrotz kann man es spaßeshalber mal machen: Sagen wir mal, man will das Intgeral berechnen. Man könnte nun eine Familie von Testfunktionen definieren, die in der Summe 1 ergeben und jeweils nur auf einem Teilstück =1 sind, ansonsten rechts und links gegen 0 gehen. Der Bereich, auf dem eine solche Funktion ungleich 0 ist, soll beschränkt sein (genauer gesagt soll sie kompakten Träger haben). Für die Summe der Testfunktionen soll gelten: . Dann kann man das Integral so schreiben:

Die Integrationsgrenzen der einzelnen Integrale müssen dabei so gewählt werden, dass sie den gesamten Bereich einschließen, in dem die Testfunktion ungleich 0 ist.
Einsling Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich werd wohl noch eine Weile darüber nachdenken müssen, aber danke schon mal für eure Antworten smile

LG
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