Ungleichung

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aleos Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung
Hallo,

ich stehe vor folgender Ungleichung und weiß nicht, wie ich sie "einfach" beweisen kann. Einfach meint hierbei, dass die Lösung nicht kompliziert sein soll.



Das einzige, das ich voraussetzen kann ist:



Mir fehlt aktuell der Ansatz dafür. Wäre für jeden Tipp dankbar.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Woher ist ?
Für festes stimmt sie nicht, wenn .
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vergaß zu erwähnen:
Stimmt, für einige n gilt die Aussage nicht. Die Aufgabe ergab sich durch eine andere Aufgabe, weshalb ich unterschlagen habe, dass die Ungleichung für unendlich große n gelten soll.
Hoffe damit alle Voraussetzungen erwähnt zu haben.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungl. ist äquivalent zu .
Wenn fest, dann für , das heißt es gibt , sodass f.a. immer .

EDIT: Oder auch gleich wählen. Fehler korrigiert.
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Äquivalenz der Ungleichung kann ich nachvollziehen.
Aber folgende Aussage stimmt nicht:

Zitat:
Original von bijektion
Wenn fest, dann für


Der Quotient sollte für große n divergieren (habe es mal geplottet).
Irgendwo ist da der Wurm drin ...
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aleos
Ich vergaß zu erwähnen:
Stimmt, für einige n gilt die Aussage nicht.


Es ist vielmehr so, dass die Ungleichung für fast alle nicht gilt, denn der Logarithmus wächst schwächer als JEDE Potenz.
 
 
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aleos
Die Äquivalenz der Ungleichung kann ich nachvollziehen.
Aber folgende Aussage stimmt nicht:

Zitat:
Original von bijektion
Wenn fest, dann für


Der Quotient sollte für große n divergieren (habe es mal geplottet).
Irgendwo ist da der Wurm drin ...


Ich habs jetzt nicht geplottet, aber nach meiner Rechnung sollte bijektion schon recht haben. Man kann x-Mal l'hospital anwenden und dann bleibt am Ende stehen
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja, nun sehe ich das auch. Habe offensichtlich nicht weit genug geplottet, der Abstieg in Richtung 0 kommt recht spät ...

Erst Mal danke soweit! Ist schon sehr gut nachvollziehbar.

Vielleicht eine abschließende Frage:
Kann man das auch ohne L' Hospital zeigen? Vielleicht mit Hilfe einer weiteren bekannten Ungleichung?
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Mal von meiner gestellten Fragen abgesehen.
Habe soeben einen Fehler oben entdeckt.
Die Ungleichung, welcher Bijektion gepostet hat, hat einen Tippfehler. Richtig lautet sie:



Er hat das im vergessen gehabt.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast recht, es muss heißen, das ändert aber nicht wirklich was.

Zitat:
Kann man das auch ohne L' Hospital zeigen? Vielleicht mit Hilfe einer weiteren bekannten Ungleichung?

Ja. Du kannst etwa versuchen die Ungleichung für zu benutzen.

@Hasgar: Ich würde mal gerne sehe, wie du hier L'Hospital angewendet hast.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
@Hasgar: Ich würde mal gerne sehe, wie du hier L'Hospital angewendet hast.

bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso nach ableiten? Der Grenzwert wird doch über gebildet.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich leite ja auch nach n ab...n^x abgeleitet nach n ergibt doch x n^(x-1) oder nicht?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, es tut mir leid Hammer Ich sollte vielleicht selbst erstmal nachrechnen Augenzwinkern Hatte nicht drauf geachtet, dass sich das nachdifferenzieren und die Ableitung von so schön wegkürzen.
Das ist natürlich alles korrekt.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Bin halt schreib-/tippfaul ^^ die zwischenschritte fehlen natürlich
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich Nachrechnenfaul Big Laugh
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