Konvergenz einer Reihe mit 0/0

Neue Frage »

2^2 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe mit 0/0
Hey Matheboardler,

Ich hab eine Aufgabe und komme zu einem Ergebniss das mir nicht wirklich was sagt. Hier die Aufgabe:

Überprüfen sie folgende Reihe auf Konvergenz:


Dazu verwende ich das Quotientenkriterium, mit dem die Aufgabe dan wie folgt aussieht:








Lass ich kommt da raus:



Nur kann ich damit nichts anfangen. L'Hospital dürfen wir nicht verwenden! Was kann man da noch machen? Kann man den Bruch um irgendwas ergänzen das was sinnvolles rauskommt?


Vielen Dank smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast lediglich eine Folge angegeben, willst aber auf Reihenkonvergenz prüfen? Da scheint etwas mit der Aufgabenstellung nicht zu stimmen...überprüfe diese zunächst einmal.
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

ah das hab ich vergessen hinzuzufügen, die Reihe ist mit = entsprechend dem in der Aufgabenstellung

Tut mir Leid smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ergibt das schon mehr Sinn.

Du könntest jetzt den enstandenen Ausdruck natürlich noch weiter bearbeiten, insbesondere die dritte binomische Formel würde sich da anbieten. Allerdings wird dich das bei der Entscheidung für/gegen Konvergenz der Reihe nicht weiterbringen. Der Grenzwert dieses Ausdrucks ist nämlich 1. Man kann zeigen, dass bei Reihen dieser Bauart, d.h. wobei ein rationaler Ausdruck ist, das Quotienten- und Wurzelkriterium stets den Wert 1 liefern. Wenn man dann wie hier noch ein paar Wurzeln reinschmeißt, macht das keinen Unterschied. Du solltest es hier also mit dem Majoranten- oder Minorantenkriterium versuchen.
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank, dan muss ich mal gucken mit welcher Reihe ich das Abschätzen könnte.

Da mir rationaler Ausdruck noch nicht untergekommen war (bisher nur rationale Zahlen), hab ich mal gegoogled und das hier gefunden (ich darf keine links teilen also hier zitiert):
Ganzer rationaler ausdruck = Addition und Multiplikation und Subtraktion
Gebrochen rationaler Ausdruck = ganzer rationaler Ausdruck + Division
Algebraischer Ausdruck = gebrocher rationaler Ausdruck + Wurzel

von mp.haw-hamburg.de mit dem titel 5-vk-potenzen.pdf auf seite 3.

Ist jetzt vielleicht eine blöde Frage, aber da stehen ja mehrer Möglichkeiten, muss (nach oben) also ein Ganzer rationaler Ausdruck, Gebrochen rationaler Ausdruck oder Algebraischer Ausdruck sein? Nur das ich sowas in Zukunft gleich sehen kann und nicht unnötig versuche mit das mit dem Quotientenkriterium auszurechnen smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das im Sinne einer rationalen Funktion, also ein Quotient zweier Polynome. smile

Bevor du nach einer passenden Reihe suchst, solltest du den gegebenen Ausdruck aber noch umformen. Dafür eignet sich auch wieder die dritte binomische Formel. Danach kann man ausgehend vom Konvergenzverhalten der allgemeinen harmonischen Reihe nach einer passenden Abschätzung suchen.
 
 
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke dir, ich such dan mal morgen nach einer passenden Umformung, dass ich das dan mit der harmonischen Reihe abschätzen kann, heute ist das zu spät für mich, morgen ist ja wieder Montag Augenzwinkern Zu wissen, dass Reihen eben dieser 'Bauart' bei dem Quotienten- und Wurzelkriterium immer 1 liefern ist wirklich Gold wert! Ich fand es bisher immer sehr schwierig zu Entscheiden wann ich Abschätzen kann und wann nicht und das Abschätzen hab ich i.d.R. immer dan relativ schnell verworfen wenn ichs nicht sofort gesehn hab, aber so fällt mir das jetzt (hoffentlich) viel leichter Einzuschätzen wann ich Abschätzen kann und wann nicht. Ich werd meinem Prof vorschlagen das er das in seinen Vorlesungen mal erwähnen könnte Augenzwinkern

Ich meld mich falls ich noch Probleme habe sollte dan morgen smile
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, also irgendwie will das nicht so ganz. Hier mal was ich mache:

















Einmal im Kreis gedreht Hammer Ich komm aber auch nicht wirklich auf eine Form in der Ich das abschätzen könnte. In was für eine Form die kommen müssen ist mir so ungefährt klar. Schätze ich ab mit der allgemeinen harmonischen Reihe und ...

... will ich das Minorantenkriterium anwenden muss mein Term so eine Form habe:

mit und und/oder

... will ich das Majorantenkriterium anwenden muss mein Term so eine Form habe:

mit und und/oder

Nur bekomm ich das nicht passend.

Noch zwei fragen nebenbei:
1) Wie genau kommt man drauf das des mit Quotienten und Wurzelkriterium immer 1 ergibt? Damit es die Division zweier Polynome ist muss der Exponent doch ganzzahlig sein, aber oder täusche ich mich da? smile

2) Gibt es irgenwo eine Sammlung wo steht "welche Funktion größer ist als welche", also z.B. (alle Relationen frei erfunden!). Sowas mir korrekten Relationen als Übersicht?
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das "und/oder" kann man zu "und" streichen, blöd das ich nicht editieren kann.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung kann ich nicht ganz nachvollziehen...erweitere den Bruch so, dass du im Zähler die dritte binomische Formel stehen hast. Dadurch fallen die Wurzelausdrücke weg und der Zähler vereinfacht sich auf schöne Weise.

Zu 1): es handelt sich hier nicht um Polynome, die Wurzeln sind da natürlich das Problem, der Grenzwert den man mit dem Quotientenkriterium erhalten würde wird davon aber nicht beeinträchtigt. Anschaulich klammerst du bei auch bei die höchste Potenz aus.

Zu 2): gibt es bestimmt, direkt eins nennen kann ich aber nicht. Das "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein ist sehr umfangreich und sollte so etwas bieten, allerdings lernt man die wichtigsten Abschätzungen mit der Zeit eigentlich automatisch.
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab aus und versucht je eine binomische Formel zu machen LOL Hammer

Diesmal korrekt:










Da folgt



Also konvergiert die Folge nach dem Majorantenkriterium.


Ich schaue mal ob ich das Buch irgendwo habe, wenn ich sowas finde kann ichs ja hier reinstellen Augenzwinkern


Danke nochmals! Freude
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid das ich euch hier nochmal belästige, aber ich konnte das Buch bisher nicht auftreiben und sowas leider auch nicht finden. Außerdem hab ich wirklich Probleme bestimmte Reihen abzuschätzen, z.B.

anbieten würde sich , nur weiß ich nicht ist oder .

Daher wäre gut zu wissen wie den folgendes in Relation zueinander steht:

also für , wie vehalten sich , , , , , und mit zueinander, insbesondere wenn man Reihen auf Konvergenz überprüfen will?

Mit Relation meine ich z.B. . Kann das jemand für die anderen vielleicht aufschreiben, dass wäre mir das eine große Hilfe beim Abschätzen! Freude
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest ja zunächst einmal selber versuchen und Vermutungen anstellen. Außerdem ist es fraglich, ob du diese Abschätzungen unbewiesen verwenden darfst; vor allem wenn die in der Veranstaltungen nicht vorgekommen sind.
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vermutung wäre:

(mit a<1) (a = 1) (mit e>a>1) (mit a>e)

Durch probieren mit dem Taschenrechner. Das es fraglich ist ob ich die benutzen kann stimmt schon, aber was soll ich sonst machen, ich wüsste nicht wie ich sonst abschätzen soll wenn ich nicht weiß ob oder bzw wenn entsprechend andere Funktionen kommen. Vielleicht wird vorausgesetzt das man das bereits weiß wenn man anfängt zu studieren.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 2^2
nur weiß ich nicht ist oder .



Es ist . Was folgt daraus für die Abschätzung?
2^2 Auf diesen Beitrag antworten »

-> Minorantennkriterium und die Reihe ist divergent.

Mein Problem ist aber das ich ich nicht weiß was größer is als was bei bestimmten Funktionen, wie bei log(x) oder bei ,
gilt oder ?

Nehm ich eine zu betrachtende Reihe z.B. mit der Summe von x = 1bis und ich wüsste das gilt für beliebiges a>1, dan könnte ich das leicht abschätzen mit dem majorantenkriterium. Vor allem hab ich ein Problem mit dem Verhältnis von zu und zu mit a>1. Was is da kleiner/größer als was?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »