maximaler Wert Richtungsableitung

18.08.2014, 09:29

Duinne

maximaler Wert Richtungsableitung

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe eine kurze Frage:
Um den maximal möglichen Wert einer Richtungsableitung zu bestimmen, muss ich das Extrema berechnen, oder?
Das hier ist meine Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} f\left(x,y\right)=ln\left(x^{2}-y^{2} \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zur Berechnung für Extrema habe ich das hier gefunden:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

BIn ich da auf dem richtigen Weg?

Danke und Gruß
Duinne

18.08.2014, 09:46

Ehos

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Die Richtung mit der größten Richtungsableitung hat der Gradient.

Begründung:
Die Richtungsableitung in irgendeine Richtung $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ist das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \nabla f\cdot \vec n \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Definition des Skalarproduktes wird dieses am größten, wenn beide Faktoren in dieselbe Richtung zeigen. Der Betrag $\begin{eqnarray*} |\nabla f| \end{eqnarray*}$ ist der skalare Wert dieser maximalen Ableitung.

18.08.2014, 10:16

Duinne

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maximaler Wert Richtungsableitung
Danke für deine Antwort!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2x}{x^{2}-y^{2} } \\ -\frac{2y}{x^{2}-y^{2} } \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1,2 \\ -\frac{4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1,2 \\ -\frac{4}{5} \end{vmatrix}= \sqrt{1,2^{2}-\frac{4}{5} ^{2} } = 1,44 \end{eqnarray*}$

Habe ich das richtig verstanden?

Grüße
Duinne

18.08.2014, 10:49

Hasgar

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Also wenn Du den Betrag des Gradienten an der Stelle (3,2) ausrechen wolltest, dann ist das Ergebnis approximativ (nicht exakt) richtig. Aber Du hast uns nichts vom Punkt (3,2) gesagt und in der Wurzel von Deiner Rechnung stehen böse Sachen.

18.08.2014, 10:50

Ehos

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Den Gradienten hast du richtig berechnet. In den Gradienten hast du einen Punkt (x,y) eingesetzt (welchen?) und dort den speziellen Gradienten (1,2|-0,8) herausbekommen. Da ich den den Punkt (x,y) nicht kenne, kann ich das nicht prüfen. Den Betrag dieses Gradienten hast du danach richtig berechnet. Das ist die maximale Richtungsableitung. Insofern ist alles ok.

18.08.2014, 11:32

Duinne

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maximaler Wert Richtungsableitung
Ich habe vergessen, den Punkt mit anzugeben. Es galt den maximalen Wert der Richtungsableitung an der Stelle (3;2) zu bestimmen. Entschuldigung Gott

18.08.2014, 15:16

Bernhard1

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Zitat:

Original von Ehos
Den Betrag dieses Gradienten hast du danach richtig berechnet.

Mir fehlt hier allerdings das Quadrat bei der 5 im Nenner (unter der Wurzel).

18.08.2014, 16:14

Duinne

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maximaler Wert Richtungsableitung
Mhm, da hast du Recht. Fehlt eigentlich nur die Klammer drum. Habe ich wohl auch vergessen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1,2 \\ -\frac{4}{5} \end{vmatrix}= \sqrt{1,2^{2}-\left(\frac{4}{5}\right) ^{2} } = 1,44 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe!

18.08.2014, 17:11

Bernhard1

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Hallo Duinne,

die Zahlen sind mMn noch nicht richtig, denn es gilt:

(1,2)²-(4/5)² = 0,8

und die Wurzel aus 0,8 kann nicht größer als eins sein.

18.08.2014, 21:34

Duinne

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maximaler Wert Richtungsableitung
Nicht mein Tag.

Es müssen 0,89 sein.
Vielen Dank!

Gruß
Duinne

19.08.2014, 09:04

Huggy

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Zitat:

Original von Bernhard1
Hallo Duinne,

die Zahlen sind mMn noch nicht richtig, denn es gilt:

(1,2)²-(4/5)² = 0,8

und die Wurzel aus 0,8 kann nicht größer als eins sein.

Die Zahlen sind schon richtig, nur ist die Formel noch immer falsch. Ganz ausführlich muss da stehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1,2 \\ -\frac{4}{5} \end{vmatrix}= \sqrt{1,2^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right) ^{2} } \approx 1,44 \end{eqnarray*}$

19.08.2014, 09:10

Bernhard1

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