Lokalendliches Mengensystem eines quasikompakten Raumes

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Hokodoko Auf diesen Beitrag antworten »
Lokalendliches Mengensystem eines quasikompakten Raumes
Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand sagen, warum ein lokalendliches Mengensystem eines quasikompakten topologischen Raumes X höchstens endlich viele Mengen enthält?

Mit quasikompakt ist gemeint, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Vielen Dank und Grüße!

Meine Ideen:
Man könnte ja alle Mengen aus dem besagten Mengensystem vereinigen und die Differenz zwischen dem Gesamtraum X und dieser Vereinigung in das Mengensystem mitaufnehmen. Dann hätten wir eine lokalendliche Überdeckung von X vorliegen.

Kann ich daraus jetzt irgendwelche Rückschlüsse ziehen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis dieser Tatsache ist Straightforward.

Die Definition der lokalen Endlichkeit liefert dir eine Überdeckung des Raumes. Dann gibt es eine endliche Teilüberdeckung und man ist eigentlich schon fertig.
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