Lösen einer Bruchgleichung / Wurzelgleichung

18.08.2014, 14:52

Mathematikfrager

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Lösen einer Bruchgleichung / Wurzelgleichung

Irgendwie scheine ich schon immer meine Probleme mit Wurzel- und Bruchgleichungen zu haben, weshalb ich beschlossen habe, beide Aufgabentypen noch einmal durch zu gehen. Nun aber meine Fragen:

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{x²+2x-5}{x+1}-2 = \frac{3x+1}{3} \end{eqnarray*}$

Zum Auflösen der Gleichung multipliziere ich beide Seiten mit den Hauptnenner.
Das heisst I * 3(x+1). Als Lösung wird mir nun folgendes angezeigt:

3 * (x² + 2x - 5) - 2 * 3 (x + 1) = (3x + 1) (x + 1)

Jetzt nun zu meinen Fragen:
Woher kommt das jeweils dick geschriebene ? Fehlt im ersten Teil nicht die * (x+1), denn hier wird der Ausdruck aus dem Zähler des ersten Bruches nur * 3 genommen. Anschließend wird die Zahl nach dem Bruch (-2) mit dem kompletten Term *3(x+1) multipliziert. Ist das nicht irgendwie doppelt gemobbelt ? Warum wird dann nach dem Gleichheitszeichen nur noch ein (x+1) hinzugefügt ? Fehlt hier nicht wieder die *3 ?

Wurzelgleichung:
Als Aufgabe gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-3} = 1 \end{eqnarray*}$

Um jetzt diese Gleichung zu lösen muss ich ja quadrieren. Quadriere ich dann
nur die rechte Seite und auf der linken Seite fällt einfach die Wurzel weg ?

Liebe Grüße
Mathematikfrager

18.08.2014, 14:58

Mathema

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RE: Lösen einer Bruchgleichung / Wurzelgleichung

Zitat:

Zum Auflösen der Gleichung multipliziere ich beide Seiten mit den Hauptnenner.

Nein - das machst du eben nicht. Du erweiterst (!) alle Brüche auf den Hauptnenner.

Wink

Wink

18.08.2014, 16:20

Mathematikfrager

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Heisst also so viel wie:

Da im linken Bruch im Nenner (x+1) steht, erweitere ich den nur noch um 3, wodurch sich dann diese 3 * (x²+2x-5) her ergibt. Die -2 ist daselbe wie -2/1, dadurch das beide nicht erhalten sind, erweitere ich das alles um *3(x+1) und andere Seite ist die 3 gegeben, das heisst ich erweitere hier nur noch mit der (x+1), sodass ich (Zähler) * (x+1) erhalte ?

18.08.2014, 16:25

Mathema

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So ist es

Freude

Und da der Nenner nun identisch ist, brauchst du dich nur noch um den Zähler kümmern. Daher kommt deine Gleichung.

Wink

Wink

18.08.2014, 16:44

Mathematikfrager

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Nochmals zur Verdeutlichung:

Ich betrachte folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-3} + \frac{3}{x} = \frac{6}{2x} + \frac{1}{2x-6} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich hier erweitern mit allen Nennern ?
Das heisst es wird aus dem ersten Zähler 1*(x*2x*(2x-6)) ?

18.08.2014, 16:48

Mathema

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Beachte:

2x-6 = 2(x-3)

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18.08.2014, 16:54

Mathematikfrager

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Was ist damit gemeint ?

Müsste ich jetzt nicht rechnen (ganz ausgeführt):
1*(x*2x*(2x-6)) + 3*((x-3)*2x*(2x-6)) = 6*((x-3)*x*(2x-6)) + 1*((x-3)*x*2x)) ?

Also habe ich jeden Zähler mit jedem Nenner, außer dem eigenen multipliziert ?

18.08.2014, 16:58

Mathema

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Das ist zu umständlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Hauptnenner heißt doch nun 2x(x-3).

18.08.2014, 17:08

Mathematikfrager

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Aber ginge es auf diese Weise auch ?

Zu Wurzelgleichungen:
Ich muss, wenn ich links eine Wurzel habe, die rechte Seite quadrieren und dadurch fällt einfach die Wurzel links weg ?

18.08.2014, 17:14

Mathema

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Du siehts ja schon an deiner Gleichung, dass du dir es unnötig schwer machst. Natürlich kannst du um einen gemeinsamen Nenner zu finden immer das Produkt der Nenner bilden, aber es empfiehlt sich halt das kleinste gemeinsame Vielfache zu suchen. Wenn meine Nenner 3, 4 und 6 heißen, würde ich ja auch nicht auf 72 erweitern, sondern auf 12 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu der Wurzelgleichung:

Du quadrierst ja niemals eine Seite deiner Gleichung alleine!

18.08.2014, 17:23

Mathematikfrager

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Ok, dankeschön das Prinzip der Bruchgleichung habe ich verstanen Freude

Freude

Zurück zur Wurzelgleichung:
Beispiel 1:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-3}=1 \end{eqnarray*}$

Hier würde ich jetzt einfach quadrieren, sodass rechts dann steht
x - 3 = 1² I + 3
x = 4

Beispiel 2:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-3}-3=1 \end{eqnarray*}$

Hier doch erst die 3 rüberholen und dann selbes Verfahren wie in
Beispiel 1 ?

Beispiel 3:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-3}=\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Müsste ich hier jetzt beide Seiten quadrieren, sodass ich dann habe:
x-3 = 1 ?

18.08.2014, 17:28

Mathema

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Zitat:

Müsste ich hier jetzt beide Seiten quadrieren, sodass ich dann habe:
x-3 = 1 ?

NOCHMALS: Du quadrierst IMMER beide Seiten deiner Gleichung!

Und beachte dabei, dass dieses keine Äquivalenzumformung ist. Du musst daher bei einer Wurzelgleichung immer noch die Probe machen, wenn du Lösungen gefunden hast.

18.08.2014, 17:33

Mathematikfrager

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Quadriere ich aber eine komplette Wurzel fällt doch einfach das Wurzelzeichen weg ?
Dadurch, dass ich die Wurzel quadriere muss ich auch die andere Seite quadrieren. Nur bei der Wurzel würde dann doch das Wurzelzeichen wegfallen und mit den Zahlen verändert sich nichts, die unter der Wurzel standen ?

18.08.2014, 17:38

Mathema

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So ist es. Das Quadrat ist ja gerade die Gegenrechnung zur Wurzel. Quadrierst du somit eine Wurzel, bleibt einfach der Radikand (Term unter der Wurzel) stehen.

18.08.2014, 17:44

Mathematikfrager

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Auch hier nochmal als Vertiefung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}+1=\sqrt{2x+2} \end{eqnarray*}$

Hier quadriere ich zunächst beide Seiten, sodass dann übrig bleibt:

x + 2 + 1² = 2x + 2 I -2
x + 1 = 2x I - x
x = 1

Die 1 wurde hier quadriert und bei dem anderen die Wurzeln durch
das quadrieren weggelassen ?

18.08.2014, 17:48

Mathema

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Hier musst du aufpassen. Wenn du die linke Seite quadrierst, steht dort $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+2}+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Und das ist die erste binomische Formel.

18.08.2014, 17:50

Mathematikfrager

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Kann ich dann hier die Wurzel weglassen und den Rest nach der 1.Binomischen Formel auflösen ? Also (x+2+1)² oder wie ist das in dem Fall mit der Wurzel ?

18.08.2014, 17:54

Mathema

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Nein das kannst du nicht. Du musst ganz normal die binomische Formel auflösen. Im Mittelteil bleibt deine Wurzel also erstmal erhalten. Dafür fällt die Wurzel auf der rechten Seite weg. Anschließend deine Gleichung so umformen, dass deine Wurzel alleine auf einer Seite steht und erneut quadrieren.

Und danach - wie schon erwähnt - unbedingt die Probe machen!

18.08.2014, 18:00

Mathematikfrager

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}² + 2 * \sqrt{x+2} * 1 + 1² \end{eqnarray*}$ ?

P.S. Ich möchte mich recht herzlich für die Hilfe bedanken. Ich weiss,
ich bin ein schwerer Fall.

18.08.2014, 18:04

Mathema

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Das ist korrekt. Die Quadrate nun noch ausrechnen und ab auf die andere Seite deiner Gleichung damit. Wie heißt dann deine neue Gleichung?

PS: Gern geschehen. Du arbeitest ja gut mit Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2014, 18:11

Mathematikfrager

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Dann hätte ich erstmal:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}²+2*\sqrt{x+2}*1² = 2x+2 \end{eqnarray*}$

Durch das quadrat an der 1.Wurzel fällt diese weg, sodass daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x+2+2*\sqrt{x+2}*1 = 2x+2 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich doch durch 2 dividieren, die *1 fällt auch weg, denn wenn ich durch 1 dividiere bleibt sonst alles beim alten, es folgt:

$\begin{eqnarray*} x+2+\sqrt{x+2} = x+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich - x und - 2 rechnen, sodass folgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2} = -1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich wieder alles quadrieren, um die Wurzel wegzubekommen:

x+2 = (-1)² bzw. = 1

Am Ende ganz normal auflösen:

x + 2 = 1 I -2
x = -1 ?

18.08.2014, 18:18

Mathema

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In deiner ersten Zeile hast du hinten die + 1 vergessen, die du bei deiner Auflösung der binomischen Formel noch richtig hingeschrieben hast.

Dein zweiter (und viel gröberer) Fehler ist deine Division durch 2. Wenn du die linke Seite (Summe) durch zwei teilst, musst du jeden (!) Summanden durch 2 teilen, also auch dein x und deine 2, die am Anfang stehen. Bevor du durch 2 dividierst, bringe erstmal alles auf die rechte Seite. Du kannst dir auch die Division ganz sparen und deine 2 vor der Wurzel lassen. Links steht also 2 mal die Wurzel alleine auf der Seite. Was steht nun rechts?

18.08.2014, 18:27

Mathematikfrager

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Upps sorry, die +1 ist mir irgendwie verloren gegangen, also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}²+2*\sqrt{x+2}*1+1²=2x+2 \end{eqnarray*}$

Wie bisher auch fällt die erste Wurzel wieder weg und es folgt:

$\begin{eqnarray*} x+2+2*\sqrt{x+2}*1+1²=2x+2 \end{eqnarray*}$

x, 2 und 1² kann ich zunächst rüberholen, ebenso die *1:

$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{x+2}=x-1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin müsste alles stimmen oder ?
Wenn ich jetzt durch zwei dividieren würde, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}=\frac{x-1}{2} \end{eqnarray*}$

Dann jetzt quadrieren wieder ?
Also:

$\begin{eqnarray*} x+2=\frac{x-1}{2}² \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder die binomische Formel anwenden ?

18.08.2014, 18:32

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{x+2}=x-1 \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt Freude

Freude

Bei deinem Bruch weiter unten fehlen die Klammern, die du dir hoffentlich richtig gedacht hast.

Gehe mal von meiner zitierten Gleichung weiter und quadriere diese. Dann sparst du dir die Brüche. Das rechts wieder eine binomische Formel entsteht hast du schon richtig erkannt.

18.08.2014, 18:37

Mathematikfrager

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Das müsste dann sein:

$\begin{eqnarray*} 4*(x+2) = (x-1)²<br /> 4x + 8 = x² - 2x + 1²<br /> 4x + 8 = x² - 2x + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder weiter auflösen ?

18.08.2014, 18:39

Mathematikfrager

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Stop: Glaube habe einen Fehler gemacht, dass müsste doch dann:

$\begin{eqnarray*} (2*\sqrt{x+2})² \end{eqnarray*}$ heißen oder ?

18.08.2014, 18:40

Mathema

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Das sieht gut aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du jetzt noch hoffentlich weißt, wie man eine quadratische Gleichung löst, hast du dein Ziel gleich erreicht.

18.08.2014, 18:43

Mathema

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Zitat:

Original von Mathema
Das sieht gut aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du jetzt noch hoffentlich weißt, wie man eine quadratische Gleichung löst, hast du dein Ziel gleich erreicht.

Heißt es ja auch. Und du hast es genau richtig vereinfacht. Quadriere ich ein Produkt, kann ich das Quadrat auf jeden Faktor verteilen.

18.08.2014, 18:45

Mathema

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Upps verdrückt. Wollte eigentlich deinen Beitrag darüber zitieren.

18.08.2014, 18:48

Mathematikfrager

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Also heisst das, ich habe doch alles richtig gemacht ?

$\begin{eqnarray*} 4x + 8 = x² - 2x + 1 \end{eqnarray*}$

Hier kann ich jetzt die 4x rüber holen und die 8 und dann doch ganz
normal mit der pq-Formel auflösen, oder ?

$\begin{eqnarray*} 0 = x² - 6x - 7 \end{eqnarray*}$ und das noch per pq jetzt ?

18.08.2014, 18:50

Mathema

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Ja - alles richtig. Jetzt pq-Formel und anschließend Probe machen.

18.08.2014, 19:00

Mathematikfrager

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Vielen, vielen Dank, ich glaube ich habe das Prinzip endlich verstanden.

Also kann ich mir als kleine Lernliste merken:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + y = \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ - Alles quadrieren (inkl. y - Binomische Formel)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ - Quadrieren und normal auflösen
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + y = z \end{eqnarray*}$ - y rüberholen, dann quadrieren ?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = z \end{eqnarray*}$ - Quadrieren ?

18.08.2014, 19:03

Mathema

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Da habe ich keine Einwände Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schönen Abend dir!

LG Wink

Wink

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