Lineare DGLs n-ter Ordnung am "einfachsten" lösen |
18.08.2014, 18:51 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lineare DGLs n-ter Ordnung am "einfachsten" lösen ich schreibe gerade eine Facharbeit über Lineare Differentialgleichungen mit besonderem Augenmerk auf Lösungsverfahren und aufgrund der beschränkten Länge dieser Arbeit sollte ich höchstens 2 Lösungsverfahren schildern, nur habe ich im Moment etwas den Überblick verloren, da es unzählige gibt, z.B Transformationen, Reduktionen auf niedrigere DGLs oder einfach nur das charakteristische Polynom aufstellen und dessen Nullstellen finden mit Hilfe einer Darstellung von Linearfaktoren, obwohl das in den seltensten Fällen klappt. Was ich konkret wissen möchte ist, mit welchem Verfahren man am praktischten DGLs höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst. Ich wäre für jeden Tipp dankbar! |
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18.08.2014, 20:32 | xb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch das klappt immer Aber es sind nicht immer ganze Zahlen und es können auch imaginäre Zahlen dabei sein Ein Polynom nten Grades hat genau n Linearfaktoren Soweit ich weiß hat man extra die imaginären Zahlen eingeführt, damit das so ist Das charakteristische Polynom würde ich schon mal nehmen man sollte halt nur begründen wo das herkommt |
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19.08.2014, 13:21 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort! Meines Wissens nach lässt sich ja ein Polynom n-ter Ordnung nach der Form , mit als Lösung des Polynoms, darstellen. Bei Polynomen höherer Ordnung (z.B Grad 4) kann man die Nullstellen ja nicht einfach so "erraten" (nur in Ausnahmen), kann man hier z.B einfach das Newton-Verfahren hernehmen und man hat eine Nullstelle? Danach reduziert man das Polynom beliebig oft und man bekommt so alle Lösungen? Und die Lösung des Polynoms ist dann einfach das Lambda der Lösungsfunktion ? Würde mich über ein paar Ratschläge oder Gedanken von euch freuen! |
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19.08.2014, 22:24 | xb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es kommt auch auf die Vielfachheit der Nullstelle an so würde zB das folgende charakteristische Polynom zu dieser Lösung der entsprechenden Differentialgleichung führen Mit dem charakteristischen Polynom kannst du nur den homogenen Anteil einer Differentialgleichung lösen Ich würde auf numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung nicht groß eingehen denn du musst ja auch komplexe Nullstellen finden So hast du bei diesem charakteristischen Polynom auch 4 Nullstellen |
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20.08.2014, 09:08 | xb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hinweis Beim charakteristischen Polynom Lambda nehmen und |
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20.08.2014, 12:44 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort! Numerische Bestimmung einer Lösung wäre sowieso nur eine Notlösung, allerdings wirft sich bei mir die Frage auf, wie ich von einem Polynom höheren Grades eine Lösung bestimmen kann? Bei deinem Beispiel kann ich ja einfach substituieren, also setzen, aber wenn ich z.B ein Polynom der Art vor mir habe, wüsste ich im Moment nicht, wie ich zumindest eine Nullstelle bestimmen könnte. Linearfaktorisierung ist ja in diesem Fall auch eher schwer möglich, oder gibt es da einen mir nicht bekannten Trick? Mir fällt im Moment nur ein, dass bei solchen Polynomen oft ein Teiler des absoluten Gliedes (also 8) Lösung ist. Könnte ich durchprobieren, aber das liefert mir keine 3 Lösungen, um das Polynom auf ein quadratisches reduzieren zu können, was ja eigentlich Ziel ist, oder? Als Schlussfolgerung könnte man nun sagen, homogene lineare DGLs höherer Ordnung lösen spitzt sich auf eine Nullstellenbestimmung des charakteristischen Polynoms zu? Oder gibt es andere, praktischere Verfahren? Grüße |
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21.08.2014, 22:17 | xb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis zum Polynom 4. Grades gibt es Lösungsformeln Für eine allgemeine Lösung müssen Nullstellen bestimmt werden Man kann aber die Differentialgleichung auch numerisch lösen Dabei legt man die Anfangsbedingungen fest und bekommt dann eine einzige Kurve Also nochmal Wenn man die Differentialgleichung direkt numerisch löst braucht man das charakteristische Polynom nicht |
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21.08.2014, 22:29 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, danke dir vielmals! Kennst du zufällig ein numerischen Verfahren, dass sich für eine Facharbeit eignet? Falls nich, auch kein Problem! Schönen Abend noch |
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