Teilmenge des R^2

19.08.2014, 09:14

voodoo666

Teilmenge des R^2

Ich habe folgende Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} A = \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 | x > 0\right\} \end{eqnarray*}$

Ich soll entscheiden ob A offen oder abgeschlossen ist?
Mittels kurzer Überlegung wie diese Menge aussieht, komme ich zum Schluss dass sie offen sein muss. Das Problem ist, ich kann es nicht zeigen.

Meine erste Frage ist: Muss ich es bezüglich einer beliebigen Metrik zeigen? Oder bezüglich der euklidischen?

Meine Überlegung ist, wenn ich mir einen Punkt (x,y) aus der Menge nehme, kann ich als $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gerade wählen: [l]\epsilon = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist die Epsilonumgebung aufjedenfall Teilmenge von A und somit jeder Punkt innerer Punkt und somit ist A offen.

Nur es gelingt mir nicht, dass zu zeigen.
Irgendjemand nen Tipp?

Danke im Voraus

19.08.2014, 09:21

bijektion

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Da es eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ist, würde ich es bezüglich der euklidischen Metrik zeigen.
Wieso denn $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ ? Dann kann sogar $\begin{eqnarray*} \varepsilon<0 \end{eqnarray*}$ gelten.

19.08.2014, 09:32

voodoo666

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Zitat:

Original von bijektion
Da es eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ist, würde ich es bezüglich der euklidischen Metrik zeigen.
Wieso denn $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ ? Dann kann sogar $\begin{eqnarray*} \varepsilon<0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Mist. Ist wohl noch bisschen zu früh um konzentriert zu sein, habs die ganze Zeit so mitgeschleppt. Meine natürlich $\begin{eqnarray*} \epsilon = x/2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich mir das jetzt so angucke, denke ich, $\begin{eqnarray*} \epsilon = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ würde besser gewählt sein. Dann müsste es vermutlich direkt aufgehen.

Danke für die Antworts.

19.08.2014, 10:46

Leopold

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Ich vermute, du suchst eine Kreisscheibe um $\begin{align*} (x,y) \in A \end{align*}$ , die ganz in $\begin{align*} A \end{align*}$ enthalten ist. Da ist doch $\begin{align*} \varepsilon = \frac{x}{2} \end{align*}$ als Radius eine einfache Lösung. Eine Zeichnung zeigt das unmittelbar.

Mit $\begin{align*} \varepsilon = \sqrt{x} \end{align*}$ kommst du nicht immer hin. Nimm den Punkt $\begin{align*} p = \left( \frac{1}{4} , 0 \right) \end{align*}$ . Dann wäre $\begin{align*} \varepsilon = \frac{1}{2} \end{align*}$ . Der Kreis um $\begin{align*} p \end{align*}$ vom Radius $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ schneidet jedoch die $\begin{align*} y \end{align*}$ -Achse.

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