lim n!/n^n

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19.08.2014, 11:08	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n!/n^n Hi, ich habe hier einen Beweis von $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n} } = 0 \end{eqnarray}$ per Sandwich-Lemma vorliegen und das ist mir auch verständlich. Es wird gesagt, dass man die Rechenregeln für GW nicht verwenden kann. Warum? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} ... \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} * \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n} ... \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{ n^{n} } = 0 \end{eqnarray}$ Ich glaube, ich weiß wo der Fehler liegt $\begin{eqnarray} a_{n} = n! \end{eqnarray}$ ist unbeschränkt und demnach nicht konvergent, genauso für $\begin{eqnarray} b_{n} = n^{n} \end{eqnarray*}$ und demnach darf man die Rechenregeln nicht anwenden?!
19.08.2014, 11:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du versteckst die Problematik hinter den drei Pünktchen. "Wie viele" Glieder stehen denn dort? Was hältst du von Folgendem? $\begin{align} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdots \frac{n+1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdots \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1 \end{align}$
19.08.2014, 11:43	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Rechenregeln auf Faktoren angewendet, die ein einzelnes Folgenglied bilden, nicht auf die Folge selber.
19.08.2014, 11:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du getan hast, ist schon klar. Die Frage ist nur, warum du das nicht darfst. Hast du den Nachtrag in meinem vorigen Beitrag gesehen?
19.08.2014, 12:27	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, ich habe keine Idee, warum ich das in deinem Beispiel nicht anwenden darf. Ich habe nachgeguckt, der GW müsste e sein und nicht 1. Aber wenn ich mir den Satz aus meinem Skript angucke: Es seien $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ Folgen komplexer Zahlen mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} =a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_{n} =b \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab \end{eqnarray}$ dann würde ich einfach n Folgen von $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray}$ betrachten und das anwenden, was du gemacht hast.
19.08.2014, 12:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre aber jedes Riemannsche Integral der Welt $\begin{align} 0 \end{align}$ . Um $\begin{align} \int_0^1 x^2 ~ \dd x \end{align}$ zu berechnen, nehmen wir die Zerlegungspunkte $\begin{align} 0 = \frac{0}{n} < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < \ldots < \frac{n}{n} = 1 \end{align}$ Die Breite eines Teilintervalls ist $\begin{align} \frac{1}{n} \end{align}$ . Wählen wir den jeweils rechten Randpunkt als Stützstelle, so erhalten wir eine Obersumme des Integrals: $\begin{align} \int_0^1 x^2 ~ \dd x = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} + \frac{2^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} + \frac{3^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} + \ldots + \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + \ldots + \frac{n^2}{n^3} \right) \end{align}$ $\begin{align} = \lim_{n \to \infty} \frac{1^2}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{2^2}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{3^2}{n^3} + \ldots + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} = 0 + 0 + 0 + \ldots + 0 = 0 \end{align}$ All meinen Beispielen liegt derselbe Denkfehler zugrunde. Welcher ist es? Übrigens: Die Regel, daß man aus $\begin{align} a_n \to a \end{align}$ und $\begin{align} b_n \to b \end{align}$ auf $\begin{align} a_n b_n \to ab \end{align}$ schließen kann, ist natürlich korrekt. Du kannst sie aber auf das Beispiel nicht anwenden. Mich würde interessieren, was bei dir $\begin{align} a_n \end{align}$ und was $\begin{align} b_n \end{align}$ wäre ...
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19.08.2014, 17:10	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das große Beispiel mit dem Integral, leider verstehe ich davon (bisher) nur Bahnhof, ich arbeite den Ana 1 Stoff ganz klassisch durch: Folgen, dann Reihen usw. Integration kommt erst am Ende. Ich sitze immernoch hier. Ich habe jetzt durch Recherche herausgefunden, dass man die Rechenregeln nicht anwenden darf, weil die Anzahl der Faktoren nicht konstant ist. Es fällt mir schwer da Schlüsse draus zu ziehen oder äquivalente Aussagen zu finden, die für mich persönlich verständlicher sind. Angenommen man führt diese Rechenregel durch, nimmt man dann an, dass man eine konstante Anzahl an Faktoren hat? Bedeutet das wiederum man nimmt an, dass die Folge nicht gegen unendlich geht? Wenn das richtig ist, wie komtm man dann von den Sätzen für die Rechenregeln von GW dazu, dass die Anzahl der Faktoren konstant sein muss, damit man diese Rechenregeln anwenden darf?
19.08.2014, 18:43	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde deine Frage sehr interessant und gar nicht einfach zu beantworten. Die Aussage $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n) \end{eqnarray}$ gilt für zwei Folgen, führt uns zu einer unbegränzen Anzahl von Folgen, denn wir können es so oft anwenden wie wir wollen. Dies bedeutet nicht wir können eine Formel für unendlich viele Folgen basteln. In der Mathematik erreicht man das Unendliche niemals schritt für schritt sondern eben durch durchdachte Grenzübergänge (Limes). Die Natürlichen Zahlen sind unendlich viele aber $\begin{eqnarray} \infty \notin \mathbb N \end{eqnarray}$ . Wie Leopold es gemeint hat, es gibt so viele Beispiele an denen man erkennen kann, dass diese übergänge zu dem Unendlichen sinnlos sein können.
19.08.2014, 19:26	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja, das ergibt Sinn. Vielen Dank

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