DGL erster Ordnung

19.08.2014, 16:26

Rebreg

DGL erster Ordnung

Folgendes DGL System:
$\begin{eqnarray*} x'(t)=y(t)x(t)<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(t)=(1-x(t))y(t) \end{eqnarray*}$
Nun soll ich die allegeine Lösung bestimmen. Was ich sehe, ist dass ich die erste, sowie die zweite Gleichung umstellen kann, sodass ich auf der linken Seite durch Integration zum ln kommen würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{x'(t)}{x(t)} =y(t)<br /> \frac{y'(t)}{y(t)}=1-x(t) \end{eqnarray*}$
oder dann durch Einsetzen der zweiter in der ersten Gleichung bzw umgekehrt::
$\begin{eqnarray*} \frac{x'(t)}{x(t)} = y(t) = y'(t) + x(t) y(t)<br /> \frac{y'(t)}{y(t)} = 1-x(t)=1- \frac{x'(t)}{y(t)} \end{eqnarray*}$
Bei beiden kann ich aber die rechte Seite nicht integrieren.
Wie weiter??
Merciiiii Mit Zunge

19.08.2014, 18:43

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL erster Ordnung
Beachte, dass deine Ableitungen Ableitungen nach der Zeit sind, die üblicherweise als
$\begin{eqnarray*} \dot{x}=x(t)y(t) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \dot y=(1-x(t))y(t) \end{eqnarray*}$
geschrieben werden.
Sofern es sich nicht um einen "stationären Prozess" handelt, gilt
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x} \end{eqnarray*}$
Durch Einsetzen der beiden DGL erhält man eine gewöhnliche DGL für $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1-x}{x} \end{eqnarray*}$ ,
Einsetzen der Lösung dieser DGL führt allerdings auf ein Integral, das ich nicht explizit lösen konnte.

Ich bin dann weg!

19.08.2014, 19:21

Rebreg

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke!! Ich merk grad, ist nicht das erste mal, dass ich darüber gestolpert bin Forum Kloppe

Wie lautet der Code für die Punkte?

19.08.2014, 19:47

Rebreg

Auf diesen Beitrag antworten »

Und übrigens hast du bestimmt nur was falsch umgestellt; das integral ist ganz einfach zu lösen!

20.08.2014, 13:14

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rebreg
Wie lautet der Code für die Punkte?

\dot x oder \dot{x} für $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$
und
\ddot x oder \ddot{x} für $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rebreg
Und übrigens hast du bestimmt nur was falsch umgestellt; das integral ist ganz einfach zu lösen!

Kannst du mir dein Integral für $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nennen?

Neue Frage »

Antworten »

DGL erster Ordnung

Verwandte Themen