Fixpunkt streng monotone Funktion

19.08.2014, 19:25

neuling96

Fixpunkt streng monotone Funktion

Hallo zusammen
[attach]35153[/attach]
zu zeigen ist ja $\begin{eqnarray*} \left | \Phi (f)-\Phi (f') \right | = K \left | f-f' \right | \end{eqnarray*}$ mit K<1
und $\begin{eqnarray*} \Phi (f) =\int_{0}^{x}f(x,y,g(y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left | \Phi (f)-\Phi (f') \right | = \left |\int_{0}^{x}f(x,y,g(y))-f'(x,y,g(y)) \right | \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

19.08.2014, 20:00

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in der Definition von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ verwendest du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doppelt. Das muss natürlich anders, außerdem solltest du etwas ausführlicher schreiben, da sonst Verwirrung auftreten könnte, etwa so:

$\begin{eqnarray*} \Phi(g) = \left[[0,1]\to\mathbb R, \quad x\mapsto \int_0^x f(x,y,g(y)) \mathrm dy \right] \end{eqnarray*}$ .

Weiter verwirrt dich diese Doppelbezeichnung auch weiter hinten, schau dir nochmal an, was du da geschrieben hast. Verwende statt $\begin{eqnarray*} f,f' \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist wie bereits gesagt ja schon der Name der vorgegebenen Funktion.

Ansonsten ist dein Ansatz richtig. Ich nehme mal an, du kannst vorausstzen, dass $\begin{eqnarray*} (C[0,1], \lVert\cdot\rVert_\infty) \end{eqnarray*}$ ein Banachraum ist?

Vielleicht sollte man auch noch ein Wort darüber verlieren, warum $\begin{eqnarray*} \Phi(g) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ stetig ist.

19.08.2014, 21:09

neuling96

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: fixpunkt streng monotone funktion
Vielen Dank für deine Anmerkungen. Ja wir dürfen voraussetzten, dass sich hierbei um einen Banachraum handlet.
$\begin{eqnarray*} \left | \Phi (g)-\Phi (g') \right | = \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy\right | \end{eqnarray*}$
Nachdem Mittelwertsatz folgt:
$\begin{eqnarray*} \left |(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) \right | = \left |\frac{\partial }{\partial z}f(x,y,g(y))(g(y)-g'(y)) \right |<sup\left |\frac{\partial }{\partial z}f(x,y,g(y)))(g(y)-g'(y) ) \right |= k(g(y)-g'(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy \right |<\left |\int_{0}^{x}k*(g(y)-g'(y)dy \right | \end{eqnarray*}$

Leider komme ich nicht weiter?

19.08.2014, 21:18

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Aufschrieb ist ziemlich schlecht, das muss ich dir mal sagen! Man muss immer raten, was du meinst. So würde man zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy\right | \end{eqnarray*}$ zunächst mal annehmen, du meinst den Betrag dieses Ausdrucks für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das meinst du aber nicht, sondern ... ?

Auch benutzt du bei der Verwendung des Mittelwertsatzes dein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wieder doppelt.

Weiter hinten in der Abschätzung nach Verwendung des Mittelwertsatzes lässt du auf einmal unbegründet die Betragsstriche weg.

Wenn du das mal alles richtig stellst, solltest du eigentlich sehen, wo der Hase hinläuft, da fehlt nur noch eine Abschätzung, dann bist du am Ziel.

19.08.2014, 21:26

neuling96

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
Dein Aufschrieb ist ziemlich schlecht, das muss ich dir mal sagen! Man muss immer raten, was du meinst. So würde man zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy\right | \end{eqnarray*}$ zunächst mal annehmen, du meinst den Betrag dieses Ausdrucks für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das meinst du aber nicht, sondern ... ?

Beliebige x

Auch benutzt du bei der Verwendung des Mittelwertsatzes dein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wieder doppelt.
Ich versteh nicht was meinst du mit doppelt?

Weiter hinten in der Abschätzung nach Verwendung des Mittelwertsatzes lässt du auf einmal unbegründet die Betragsstriche weg.

Oh je, korrigiert.

Wenn du das mal alles richtig stellst, solltest du eigentlich sehen, wo der Hase hinläuft, da fehlt nur noch eine Abschätzung, dann bist du am Ziel.

D.h ich muss nur das $\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy \right |<\left |\int_{0}^{x}k*(g(y)-g'(y)dy \right | \end{eqnarray*}$ abschätzen?

19.08.2014, 21:46

neuling96

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: fixpunkt streng monotone funktion
$\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy \right |<\left |\int_{0}^{x}k*(g(y)-g'(y)dy \right | < sup\left| (g(y)-g'(y)) \right | k * x \end{eqnarray*}$

L=k*x< 1

Damit haben wir gezeigt das Phi(g) eine Kontraktion ist d.h es gilt Phi(g)=g

19.08.2014, 21:48

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Beliebige x

Nein, eigentlich meinst du mit den Strichen doch die Supremumsnorm, d.h. da müsste eigentlich folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\left |\int_{0}^{x}(f(x,y,g(y))-f(x,y,g'(y)) ) dy\right | \end{eqnarray*}$ und diesmal sind die Striche wirklich die Betragsstriche. Schreib das erstmal überall hin, wo es hingehört.

Zitat:

Ich versteh nicht was meinst du mit doppelt?

Mal ein Beispiel. Der Mittelwertsatz besagt (wenn alles nötige gegeben ist) $\begin{eqnarray*} h(x)-h(y) = h'(\xi)(x-y) \end{eqnarray*}$ für ein passendes $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ . Du hast jetzt sowas geschrieben wie $\begin{eqnarray*} h(x)-h(y) = h'(y)(x-y) \end{eqnarray*}$ . Es wird aber i.A. nicht $\begin{eqnarray*} y=\xi \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Oh je, korrigiert.

Und dennoch schreibst du es gleich dahinter nochmal falsch. Wenn du alles richtig hinschreibst, solltest du dann statt deinem Ausdruck bei

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\int_0^x k |g(y)-g'(y)|\mathrm dy \end{eqnarray*}$ landen. Das Supremum kann man nun sogar ausrechnen. Siehst du danach eine weitere mögliche Abschätzung ? Auch in Hinblick darauf, wo wir hin wollen?

(Übrigens noch eine Bezeichnung, die ich nicht verwenden würde, ist g', wenn es um Funktionen geht, bei denen man das als Ableitung missdeuten könnte.)

31.01.2015, 03:45

ACCU

Auf diesen Beitrag antworten »

über google gefunden Big Laugh

ich muss die aufgabe auch bearbeiten

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\int_0^x k |g(y)-g'(y)|\mathrm dy\leq \left | g(y)-g'(y) \right |_\infty sup_{x\in[0,1]}\int_0^x k\mathrm dy =\left | g(y)-g'(y) \right |_\infty sup_{x\in[0,1]}( kx )< k\left | g(y)-g'(y) \right |_\infty \end{eqnarray*}$

31.01.2015, 12:59

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig bis auf die Kleinigkeit, dass dein letztes < ein = sein muss. Ich hoffe, du hast dir alle Anmerkungen von mir dazu auch sorgfältig angesehen. Es fehlt nämlich (zumindest hier im Thread) noch immer ein Argument.

31.01.2015, 14:14

ACCU

Auf diesen Beitrag antworten »

Wären damit nicht alle Bedingungen des Banachscher Fixpunktsatz Fixpunktsatz erfüllt?

31.01.2015, 15:12

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was du alles gemacht hast. Was hast du denn alles bisher alles nachgewiesen?

31.01.2015, 15:31

ACCU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee vom neuling war richtig, bis auf Kleinigkeiten, auf die hast du ja hingewiesen hast und die habe ich alle miteinbezogen.
Allerdings
Mit $\begin{eqnarray*} A:\left [ 0,1 \right ] \end{eqnarray*}$
müsste man noch zeigen dass das gilt
$\begin{eqnarray*} \Phi (g(A))\subseteq A \end{eqnarray*}$

und hier scheitere ich

31.01.2015, 15:49

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du meinst das richtige. So stimmt es allerdings nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} A := [0,1] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} g(A) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} g\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ eine Menge reeller Zahlen. Auf die kann man $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ aber nicht anwenden, denn das ist ja auf $\begin{eqnarray*} C[0,1] \end{eqnarray*}$ definiert und nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Was du wohl meinst, ist dass $\begin{eqnarray*} \Phi(g) \in C[0,1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ ? Das ist in der Tat die einzige Voraussetzung, die hier noch nicht gezeigt (oder als bekannt abgehakt) wurde.

Wenn ich dir da einen Tipp geben soll, müsste ich erstmal deine Vorkenntnisse kennen. Mit Wissen aus der Lebesgue'schen Integrationstheorie ist das ein Einzeiler. Ansonsten könnte man wohl mit $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ arbeiten.

31.01.2015, 16:09

ACCU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12

Was du wohl meinst, ist dass $\begin{eqnarray*} \Phi(g) \in C[0,1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ ? Das ist in der Tat die einzige Voraussetzung, die hier noch nicht gezeigt (oder als bekannt abgehakt) wurde.

Genau das meine ich! Wenn man das zeigt, ist man fertig, oder?

"Es fehlt nämlich (zumindest hier im Thread) noch immer ein Argument. "

Heißt das damit gemeint?

Zitat:

Wenn ich dir da einen Tipp geben soll, müsste ich erstmal deine Vorkenntnisse kennen. Mit Wissen aus der Lebesgue'schen Integrationstheorie ist das ein Einzeiler. Ansonsten könnte man wohl mit $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ arbeiten.

Leider noch keine Kenntnisse über Lebesgue'schen Integrationstheorie.

"Es fehlt nämlich (zumindest hier im Thread) noch immer ein Argument. "

Heißt das damit gemeint?

31.01.2015, 16:35

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte genau das, was du jetzt vorhast zu zeigen.

Also dann mal los. Nimm dir $\begin{eqnarray*} x,x_0\in[0,1] \end{eqnarray*}$ her (du kannst o.B.d.A annehmen, dass $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$ ) und schätze für festes $\begin{eqnarray*} g\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} |\Phi(g)(x)-\Phi(g)(x_0)| \end{eqnarray*}$ ab.
Als ersten Tipp würde ich geben, das erste Integral aufzuteilen in den Teil von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und den Rest.

31.01.2015, 17:10

ACCU

Auf diesen Beitrag antworten »

Als ersten haben wir
$\begin{eqnarray*} \left |\int_{0}^{x_0}(f(x,y,g(y))-f(x_0,y,g(y)) ) dy \right |=\left |\frac{\partial }{\partial x}f(x_{\epsilon },y,g(y)) *x_0 \right | \end{eqnarray*}$

und hierzu fällt mir nichts ein
$\begin{eqnarray*} \left |\int_{x_0}^{x}(f(x,y,g(y)) dy \right | \end{eqnarray*}$

31.01.2015, 17:23

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Abschätzung bringt nicht viel, lass das lieber so stehen.

Für den zweiten Teil kannst du mal die gröbste Abschätzung benutzen, die es für Integrale so gibt. Für den ersten Teil könntest du erstmal die Betragsstriche ins Integral reinziehen und dann gleichmäßige Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem geeigneten Definitionsbereich ausnutzen (die du natürlich dafür auch zeigen musst).

Neue Frage »

Antworten »

Fixpunkt streng monotone Funktion

Verwandte Themen