Varianzen negativ korrelierter Zufallsvariablen

19.08.2014, 19:31	Helmi121	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianzen negativ korrelierter Zufallsvariablen Problem: Gegeben sind zwei stetige Zufallsvariablen X und Y, die negativ korreliert sind. Die Aussage: $\begin{eqnarray} Var(X-Y) \leq Var(X+Y) \end{eqnarray}$ Ist: a) stets wahr; b) weder stets wahr noch stets falsch; c) stets falsch Mein Ansatz: Davor eine ähnliche Aufgabe gehabt, hier ging es um die Aussage (Antwortmöglichkeiten wie oben): $\begin{eqnarray} Var(X+Y) \leq Var(X) + Var(Y) \end{eqnarray}$ Kein Problem, wenn man $\begin{eqnarray} Var(X+Y) \end{eqnarray}$ umschreibt wird das sofort ersichtlich (/edit der linke Term ist stets kleiner als der Rechte): $\begin{eqnarray} Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(XY)\leq Var(X) + Var(Y) \end{eqnarray}$ Dabei das Minus vor dem Term $\begin{eqnarray} 2Cov(XY) \end{eqnarray}$ , da beide Variablen ja negativ korreliert sind. Also schreibe ich das Problem oben auch um: $\begin{eqnarray} Var(X-Y) \leq Var(X+Y) \end{eqnarray}$ Wird zu: $\begin{eqnarray} Var(X) - Var(Y) -2Cov(XY) \leq Var(X) + Var(Y) -2Cov(XY) \end{eqnarray}$ Die Frage ist, wie komme ich davon weiter auf das richtige Ergebnis?

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