Beweis mit Identitätssatz

19.08.2014, 22:29

d4mich4

Beweis mit Identitätssatz

Meine Frage:
Meine Aufgabe wäre

Zeigen Sie das z (element von) C (komplexe Zahlen)

sin(2z) = 2*sind(z)cos(z)

Sie dürfen nutzen das sin(2x) = 2*sind(x)cos(x) für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Nutze den Identitätssatz.

Meine Ideen:
Ich habe wenig ideen wie genau ich das machen würde:
Identitätssatz sagt ja aus das $\begin{eqnarray*} G \subset C \end{eqnarray*}$ f,g: G -> C holomorph
i) $\begin{eqnarray*} f \equiv g \end{eqnarray*}$ in G
ii) { z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G | f(z)=g(z) } hat ein häufungspkt in G
iii) es gibt ein a so dass f '(a)= g '(a) für alle Ableitungen von f und g

also schreibe ich dann sin(2z) in e^2x*e^2iy um und muss irgendwie ziegen dass das was mit der nullfolge zu tun hat ?

19.08.2014, 22:50

Iorek

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Wie kommst du denn auf eine Nullfolge? verwirrt

Im Grund wird dir mit dem Identitätssatz eine Anleitung direkt mitgeliefert. Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktionen auf einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind, dann sind sie genau dann gleich, wenn die Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in G~|~f(z)=g(z)\} \end{eqnarray*}$ einen Häufungspunkt hat.

Um die geforderte Gleichheit mit Hilfe des Identitätssatzes zu zeigen, bräuchten wir also erst einmal zwei holomorphe Funktionen deren Gleichheit wir dann zeigen wollen; welche würden sich da anbieten?

19.08.2014, 22:57

d4mich4

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RE: Beweis mit Identitätssatz
also wähle ich f(z)= sin2(z) und g(z)=2sin(z)*cos(z) ?

oder mache ich es vllt mit f(z)= sin(2z)-2sin(z)*cos(z) und dann mit der Nullfolge im gebiet um Null?

19.08.2014, 23:04

Iorek

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Noch einmal: wo nimmst du in diesem Zusammenhang eine Nullfolge her?

Die Funktionsgleichungen sehen schon einmal gut aus, allerdings müssen wir uns noch um den Definitionsbereich kümmern. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(2z)=2\sin(z)\cos(z) \end{eqnarray*}$ soll für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gelten, wie sollten wir also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wählen?

Streng genommen müssen dann noch die Voraussetzungen überprüft werden, also ob $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ auf diesem Gebiet holomorph sind. Danach können wir uns darum kümmern, einen Häufungspunkt der Menge zu finden.

19.08.2014, 23:11

d4mich4

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$\begin{eqnarray*} G \in C / [0] \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} G \in C /[n \pi] ; n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$

19.08.2014, 23:12

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(2z)=2\sin(z)\cos(z) \end{eqnarray*}$ soll für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gelten, wie sollten wir also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wählen?

Deine Wahl von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ passt da nicht.

19.08.2014, 23:21

d4mich4

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$\begin{eqnarray*} G \in C / [\pi /2 *n] \end{eqnarray*}$

passt das oder übersehe ich da was?
oder bin ich gar auf dem ganz falschen weg?

19.08.2014, 23:25

Iorek

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Wieso willst du diese Menge ausschließen? Und zur Schreibweise: $\begin{eqnarray*} G\in \mathbb C\setminus\{\frac{\pi}2\cdot n\} \end{eqnarray*}$ ist nicht sinnvoll, dann wäre $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nur eine komplexe Zahl. Da müsste wenn überhaupt $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb C\setminus\{\frac{\pi}2\cdot n\} \end{eqnarray*}$ stehen, der zugehörige Befehl ist \subset

Und noch einmal der Hinweis: wir wollen die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \sin(2z)=2\sin(z)\cos(z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \color{red}z\in\mathbb C\color{black} \end{eqnarray*}$ zeigen, anders gesagt sollen die Funktionen die wir betrachten wollen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ übereinstimmen...

(Oben stand die Gleichung falsch, auf der linken Seite stand zuvor $\begin{eqnarray*} \sin(2) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sin(2z) \end{eqnarray*}$ , das wurde jetzt ausgebessert.)

19.08.2014, 23:38

d4mich4

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Ich wollte auch eigentlich $\begin{eqnarray*} G \subset C /[ pi/2 *n] \end{eqnarray*}$ schreiben.
aber das war der falsche gedanke das müsse ich so wählen wenn es 1/ sin(z) wäre oder ?
ich ahbe aber keine ahung was für G richtig wäre

20.08.2014, 00:20

d4mich4

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das ist aber genau der falsche gedanke denn der häfungspunkt liegt ja in 0 bei diesen beiden Funktionen f(z) und g(z) und damit is für die ii) des identität satzes zn = pi/2 *n

Problem ist, ich weiß immer noch nicht 100 %ig was G ist?
aber sollte es nicht eventuell $\begin{eqnarray*} G \subseteq R \end{eqnarray*}$ sein und dann folg mit dem Hinweis
sin(2x)=2sin(x)*cos(x) das meine aussage gilt ?

20.08.2014, 00:30

Guppi12

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Hallo,

Crosspostings sind nicht erwünscht.

Liebe Grüße

20.08.2014, 00:33

Captain Kirk

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Hallo,

ein Zwischenruf, da Iorek scheinbar schon schlafen gegangen ist:

Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist nie ein Gebiet, da insb. nicht offen in den komplexen.
Was G hier sein soll ist eigentlich vollkommen offensichtlich, Iorek hats ja auch schon rot markiert.

Ferner, was willst du mit zn's? Es geht hier um Häufungspunkte von Mengen, nicht von Folgen.

Du hast bereits f und g. Zeige, dass sie die Vorausstzungen des Identitätsatzes erfüllen und ii).
Damit gilt i)....

P.S. Bist du dir bewusst das ein massiver Unterschied zwischen / und \ besteht?
Du benutzt hier konsequent das Falsche.

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