Beweis: 2^a=3^b+1 Lösungen

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Katusch Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: 2^a=3^b+1 Lösungen
Meine Frage:
Ich habe ein Problem bei einer, finde ich, etwas ungewöhnlichen Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:

Die Gleichung



hat als einzige Lösung:



Meine Ideen:
Ich habe die Gleichung ein paar mal umgestellt, habe aber absolut keinen Plan wie ich vorgehen soll.

Ein Gegenbeispiel ist auch nicht in Sicht, nachdem ich schon eine ellenlange Tabelle danach durchsucht habe.

Habe ich einfach ein Brett vor dem Kopf?!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

man kann zeigen, z.b. durch Betrachtung der Gleichung mod 3, dass a gerade sein muss, a=2k.
Damit wird die Gleichung zu .
Ich denke ab jetzt schaffst du es selber.

Zitat:
Ein Gegenbeispiel ist auch nicht in Sicht

Ein gegenbeispiel zu was?
neuling96 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
Meine Idee( läuft ähnlich allerdings ohne mod)
Betrachte das Quadrat der Gleichung, dann folgt( und bedenke die Faktor Zerlegung ist eindeutig):



Ich denke damit kommt auch ans Ziel
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Weg von Captain Kirk ist ziemlich klar, wie es weitergeht.

Bei hingegen frage ich mich, worin der Fortschritt gegenüber der (minimal umgestellten) Ausgangsgleichung besteht. Augenzwinkern
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh, ich komme irgendwie immer noch nicht weiter. verwirrt

Ich habe einen solchen Beweis noch nie gemacht, hat jemand zufällig irgendeinen Link, wo ich mich ein bisschen zu dem Thema einlesen kann? Müsste zur elementaren Zahlentheorie gehören, oder?
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, kann man das vielleicht so machen?



1. Dann wird klar, dass der Term auf der rechten Seite nur dann ganzzahlig ist, wenn 2^k-1=1 ist. (oder etwa nicht?)
2. Also ist k=1, demnach a=2 und b=log3(2^2-3)=1

Aber wie kann man 1. deutlich machen?
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Katusch,

nutze aus, das dir die Primfaktorzerlegung der beiden Faktoren gegeben ist.
Führe das zu einem Widerspruch.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katusch
1. Dann wird klar, dass der Term auf der rechten Seite nur dann ganzzahlig ist, wenn 2^k-1=1 ist. (oder etwa nicht?)

Für k=2 ist es auch ganzzahlig.
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.: Dass er nur dann ganzzahlig ist stimmt ja gar nicht, zum Beispiel gibt es ja auch den Fall b=1, k=2. Der ist aber natürlich ausgeschlossen, weil die Gleichung dann keine Lösung hat.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann hier ruhig mal mit dem Zaunpfahl winken:

Wegen sind die Faktoren und auf der linken Seite beides 3-er Potenzen, also kommen sie aus der Menge . Andererseits haben diese beiden Zahlen welchen Abstand voneinander? Na jetzt wird doch alles klar, oder?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist trivialerweise nur dann ganzzahlig, wenn n=1 oder n=3. Den zweiten Fall hat Katusch bereits ausgeschlossen, womit die Aufgabe eigentlich gelöst ist.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bernhard1
ist trivialerweise nur dann ganzzahlig, wenn n=1 oder n=3..

Wie bitte?
Der Bruch ist ganzzahlig für mit
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bernhard1
womit die Aufgabe eigentlich gelöst ist.

Ähh, Unsinn...
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
beides 3-er Potenzen

Auch für k=4 verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bernhard1
Auch für k=4 verwirrt


Der Sinn dieses Einwands erschließt sich mir nicht.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Der Sinn dieses Einwands erschließt sich mir nicht.

Hat sich erledigt. Danke.
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Man kann hier ruhig mal mit dem Zaunpfahl winken:

Wegen sind die Faktoren und auf der linken Seite beides 3-er Potenzen, also kommen sie aus der Menge . Andererseits haben diese beiden Zahlen welchen Abstand voneinander? Na jetzt wird doch alles klar, oder?


Ahhh, das war ja eigentlich ziemlich billig. Endlich verstanden, dankeschön. Freude
hujo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Hallo Katusch,

nutze aus, das dir die Primfaktorzerlegung der beiden Faktoren gegeben ist.
Führe das zu einem Widerspruch.


meinst du damit, dass man auf der linken seite zwei prima faktoren hat mit
p1=2k+1
p2=2k-1
und der widerspruch besteht darin, dass p1 und p2 den Abstand 2 hat?
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Eine neue Aufgabe und ich komme wieder nicht weiter: unglücklich

Ermitteln sie alle natürlichen Lösungen:



Also im Prinzip eine verallgemeinerte Version der Aufgabe davor (?).

Ich habe so angefangen:



Das bedeutet, dass c 3^n teilen muss. Dementsprechend kann man mit c/3^n=d folgendermaßen fortfahren:





Und dann komme ich irgenwie nicht mehr weiter...
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »



ne, nützt alles nichts... verwirrt
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaub ich hab's. Erst mal sind ein paar Umformungen nötig:












Dann sieht man folgendes: Die rechte Seite ist auf jeden Fall ganzzahlig und da es schließlich eine Gleichung ist, muss auch die linke Seite ganzzahlig sein. Das ist nur dann möglich, wenn eine leere Summe vorliegt, also n=1 gilt (weil innerhalb dieser zwangsläufig Brüche entstehen, es gelte nach Aufgabenstellung a(k)>a(k-1, hatte ich vergessen hinzuschreiben), kann man das noch besser ausdrücken?) und 2^a(n) ein Teiler von c ist.

Mit n=1 und d=c/2^a(1) geht es dann folgendermaßen weiter:







Setzt man jetzt in die ursprüngliche Gleichung ein, kommt folgendes dabei raus:





Probe gelungen.

Sind das jetzt alle Lösungen? Ist die "Herleitung" lückenlos? Hab ich irgendwelche Dekfehler gemacht?

Würde mich über Rückmeldungen freuen. Augenzwinkern
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katusch


Das bedeutet, dass c 3^n teilen muss.


Das stimmte übrigens nicht...
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, vergesst es...
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katusch
Ach, vergesst es...

Nur so als Tpp:
Neue Aufgabe, neuer Thread - der Thread war vor deinen Selbstgesprächen schon unübersichtlich genug.
Und die Aufgabenstellung sollte man auch erklären, ich sehe hier nirgends was a(k) sein soll.
Katusch Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, hat sich erledigt. Meinetwegen können die Beiträge gelöscht werden, wenn es zu unübersichtlich ist.

Hatte das ganze nur immer noch gepostet, weil ich dachte es könnte irgendjemanden interessieren.

Zu a(k) stand in der Aufgabe nichts, außer das es eine natürliche Zahl ist.
gvmgvm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katusch

Zu a(k) stand in der Aufgabe nichts, außer das es eine natürliche Zahl ist.


solange a(k) nicht geklärt ist kann man mit der Aufgabe nicht viel anfangen.

bedeutet a(k)=a*k?
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