Missverständnis zu Galois-Gruppen

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juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverständnis zu Galois-Gruppen
Sei








So sind




Die Lösungen von f
also muss odch jedes Polynom in den Nullstellen symmetrisch in der Galoisgruppe hier von sein, oder.
nimm

aber

total ungleich!
Wo ist der Fehler?
thx
Jürgen
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


Zitat:
also muss odch jedes Polynom in den Nullstellen symmetrisch in der Galoisgrupp

Ich weiß nicht, was "Polynom ist symmetrisch in den Nullstellen" bedeuten soll.
Und wieso muss das sein?

Und wieso sollte denn sein?
Das ist äquivalent zu .
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
Es soll doch jeder Ausdruck in den Nullstellen dieses Polynoms symmetrisch gegenüber allen Permutationen aus seiner Galoisgruppe hier von sein.

sei




wie wir sehen ist
Andere Ausdruecke wie sind aber invariant gegen .
Es lassen sich beliebig viele der einen oder anderen Art hinschreiben.
Also "jeder Ausdruck" stimmt nicht.
Danke.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es soll doch jeder Ausdruck [..]

Um meinen Punkt aus dem vorigen Post nochmal genauer rauszustellen:
Wer sagt denn sowas? Bzw. was sagt den derjenige genau?

Zitat:
Andere Ausdruecke wie sind aber invariant gegen .

aber z.B. nicht invariant bzgl./unter (gegen hab ich in dem Kontext noch nie als Präpostion gelesen) (12)

Zitat:
Also "jeder Ausdruck" stimmt nicht.

Da stimme ich dir ja zu. Bloß wie kommst du zu der Aussage der du hier widersprichst?
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
Zitat aus einem anderen Forum:

"Die Standardbezeichnungen für den Invariantenring von R bzgl. einer auf R operierenden Gruppe G ist . Du meinst also . Solch ein Ring existiert natürlich für jede Permutationsgruppe..."

also auch in meinem Beispiel für S_3. Alle Ausdrücke über




also der Ring ist Invariantenring zu S_3.
Ich sehe auch gerade dass in dem Ausdruck 2x_1+x_2 ja die 2 mit drin ist, die ja nicht Teil des Invariantenring I ist. Das ist wohl der Fehler.
Aber es ist ähnlich . Mit ähnlich meine ich Q-invariant, wobei der Imaginärteil von r und s nicht interessiert.

Woher das historisch jetzt ist weiss ich nicht. Es folgt sicherlich aus dem Haupsatz.

Danke!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat aus einem anderen Forum:

Ist das guttenbersches zitieren?
Wo ist das Zitat genau her? Das sagt nur, dass es ein Zitat ist.

Es wird gesagt, dass der Invariantenring existiert.
Es wird nicht gesagt was dieser enthält.
Insbesondere wird nirgendwo gesagt - was du im ersten Post behauptet hast - dass jedes Polynom in den Nullstellen enthalten ist.

Ich sehe auch gerade dass in dem Ausdruck ja die 2 mit drin ist, die ja nicht Teil des Invariantenring I ist. Das ist wohl der Fehler.
Falsch. Der Grundkörper, und damit die 2, ist immer im Invariantenring - da der Körper invariant unter der Galoisgruppe ist.

Zitat:
Aber es ist

, es ist eine dritte Einheitswurzel.

Zitat:
Mit ähnlich meine ich Q-invariant, wobei der Imaginärteil von r und s nicht interessiert.

Das ist schön. Ich sehe
allerdings keinerlei Sinn in dieser Begriffsbildung.

Zitat:
Woher das historisch jetzt ist weiss ich nicht. Es folgt sicherlich aus dem Haupsatz.

Was soll aus dem Hauptsatz folgen?


Worum geht es hier eigentlich?

edit von sulo: Text aus der Latex-Klammer rausgeholt, Überbreite des Threads reduziert.
 
 
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
"Aber es ist "

Ich meinte

Das ganze ist aus http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...hp?topic=186364
Der thread aus dem andern forum ist lang und manches ist Dir wohl eh klar.
Danke für die Mühe von Dir und auch Gockel.

Ist nun die Menge der Nullstellen M eines irreduziblen Polynomns IMMER Erzeugende eines Invarianzringes bez. seiner Galoisgruppe wobei L
der Zerfällungskoerper eines irreduziblen Polynoms f(x) ist?

Bsp.: Nullstellen von wie oben.

angewandt auf




also stimmt die Invarianz hier nicht?!
Oder ganz platt:
(1)Was Genau macht die Galoisgruppe mit den Elementen des ?
Oder :
Man redet immer von Permutationen und ich bin denke mit der Gruppentheorie gut genug vertraut zu sein.
(2)Was genau wird worin mittels der Elemente von G permutiert, so dass was genau invariant ist?

Zitat aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie (hier andere f(x), a,b,c,d ) als in meinem Bsp.

Die Galoisgruppe des Polynoms soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden.
Damit sind bei den algebraischen Gleichungen, welche von den Nullstellen erfüllt werden, nur rationale Zahlen als Koeffizienten erlaubt.
Die Nullstellen des Polynoms sind

,
,
,
.

Es gibt 4! = 24 Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen),
aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe.
Dies liegt daran, dass ALLE algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten,
die die Variablen a,b,c und d enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre GÜLTIGKEIT bewahren müssen.
(grossgeschriebene von mir.)
Mit GÜLTIGKEIT assoziiere ich Invarianz gegenüber Permutationen der Galoisgruppe.

(3)Der letzte Satz stimmt offenbar nicht siehe oben
Danke für die Mühe!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Missverstaendnis zu Galois
Zitat:
Original von juergen007
Ist nun die Menge der Nullstellen M eines irreduziblen Polynomns IMMER Erzeugende eines Invarianzringes bez. seiner Galoisgruppe wobei L
der Zerfällungskoerper eines irreduziblen Polynoms f(x) ist?

Und was soll R sein?
Falls das gemeint ist: Es ist

Zitat:
Bsp.: Nullstellen von wie oben.

Was sollen die runden Klammern ausdrücken? Ideal?

Zitat:
also stimmt die Invarianz hier nicht?!

Der Satz macht keinen Sinn. Invarianz ist eine Eigenschaft, die erfüllt sein kann oder nicht.
Deswegen ist nicht richtig oder falsch.
Zitat:
Oder ganz platt: (1)Was Genau macht die Galoisgruppe mit den Elementen des ?Oder : Man redet immer von Permutationen und ich bin denke mit der Gruppentheorie gut genug vertraut zu sein.(2)Was genau wird worin mittels der Elemente von G permutiert, so dass was genau invariant ist?

Was ist R?
Du sprichst hier über etwas von dem du nicht mitteilst was es ist.

G macht mit den Elementen von gar nichts, das ist ja gerade die Definition des Invariantenrings: Alle Elemente, die die Gruppe invariant (=unverändert) lässt.
Und die (2) lässt sich beantworten wenn du sagst was R ist.


Zitat:
Dies liegt daran, dass ALLE algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen a,b,c und d enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre GÜLTIGKEIT bewahren müssen.(grossgeschriebene von mir.)Mit GÜLTIGKEIT assoziiere ich Invarianz gegenüber Permutationen der Galoisgruppe.
(3)Der letzte Satz stimmt offenbar nicht siehe oben

Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Hier geht es um Gleichungen, oben um Elemente eine Rings. Der Satz ist vollkommen richtig.
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
Sei die Menge der Nullstellen von . R der durch M erzeugte Ring . Alle Additionen und Multiplikationen der a,b,c sind enthalten in R.
Ich weiss nicht wie man R als ganzes schreiben kann. Jetzt sage ich beispielsweise die 512 Ausdruecke
sind ein Teil des Ringes R. Auch etc. muessen in R sein sonst waere es kein Ring.
Zumindest letzterer Term ist nicht invariant in !
Also ist kein G-Invarianzring!
War jetzt die Erzeugung des Rings falsch?

In den Variablen sind
im Polynomring .
so bleibt meine Frage
(2)Was genau , welche Polynome in einem Q[] oder Ausdruecke in einem Ring werden WORIN mittels der Elemente von G permutiert, so dass was genau invariant ist?
Ich seh jetzt wohl grad den wald vor bäumen nicht.
Wir forderen ja auch die Rationalität der permutierten Terme.

Anm. zu Wikipedia.:

ALLE algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten sind invariant unter den Permutationen der Galoisgruppe. Dazu gehört ja nicht was nicht rational ist.

Danke
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Missverstaendnis zu Galois
Zitat:
Original von juergen007
Sei die Menge der Nullstellen von . R der durch M erzeugte Ring .

Das ist keine Defintion. Du könntest hier einiges meinen u.a. , , oder .

Zitat:
Zumindest letzterer Term ist nicht invariant in !Also ist kein G-Invarianzring!

Du willst den Invariantenring berechnen. Ich habe keine Ahnung was ein invarianzring ist.
Wie auch Gockel schon sagt: Man muss sich in der Mathematik (und nicht nur dort) präzise ausdrücken.

Du hast hier nirgendwo angegeben, erzeugt oder auch nur hingeschrieben.

Zitat:
War jetzt die Erzeugung des Rings falsch?

Du hast den Ring gar nicht erzeugt.

Der Invariantenring ist ein spezieller Unterring von R.
Wenn du R hast, kannst du daran gehen den Invariantenring zu bestimmen.
R selbst ist nur für die triviale Gruppe G={e} ein Invariantenring.
Zitat:
(2)Was genau , welche Polynome in einem Q[] oder Ausdruecke in einem Ring werden WORIN mittels der Elemente von G permutiert, so dass was genau invariant ist?Ich seh jetzt wohl grad den wald vor bäumen nicht.

Was ist Q[]? Was ist ein Ausdruck in einem Ring? Ich weiß nicht was das aussagen soll.
Bitte drücke dich präziser aus.

Schon mal prophylaktisch: Adjungiert man algebraische Elemente zu K, und erhält damit den Ring/Körper K[A] so nennt man die Elemente davon nicht Polynome.


Auch hab den massiven Verdacht, dass du die Definition von nicht verstehst.
Setz dich damit nochmal genauer auseinander.
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
Also Invarianzring = Invariantenring.
Der Ausdruck f(a,b,c,d)) =ab+cd usw. wird von vielen Autoren als polynom bezeichnet. Ich hatte sogar mit bewersdorff einen disput darüber.
Wenn M einen Ring erzeugt besteht der nur aus algebraischen elementen, wofür ich ein Beispiel brachte.
Mit Q[] meinte ich in dem Fall Q[x_1,x_2,x_3].
R^G ist der Ring dessen Elemente invariant gegenüber G sind, und natuerlich auch Untergruppen bzw. Normalteilern von G.
Und die aus den Elementen (Algebraischen ZAHLEN)) vom M durch Ringoperationen erzeugbar sind und den Ringaxiomen genügen.

Sicher ist der M von erzeugte Ring Teilmenge des Zerfällungskörpers von oder der ganze L.
wobei Ring als teil des Koerpers auch nicht ganz sauber ist.
R^G ist ein Ring ueber oder in Q[\alpha,\psi] wobei hier \psi eine 3.te Einheitswurzel ist.

Mit der Eigenschaft dass alle . (g angewandt auf r), und wie R erzeugt wird sagte ich schon.
Vielleicht bin ich mit dem Invariantenring auf der falschen Fährte.

Nimm ein Schachbrett !
Vertausche ich meine 2 weisssen Läufer türme Springer so ich sie noch habe oder alle Bauern beliebig, so verändert das gar nichts am Spiel, der Situiation.
so sind die operationen (S1,S2)(L1,L2)(T1,T2)(B_1..8) invariant quasis eine Galoisgruppe des Schachbrettes.
In dieser Analogie was sind die Figuren und was ist das schachbrett?
Thx again entschuldige meine .... hmm
und danke das du dich preciously auf meine hmm.. einlaesst Augenzwinkern
jürgen
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die eine zentralen Fragen meiner letzten beiden Posts nicht beantwortet:

Was ist das R vom dem du den Invariantenring betrachten willst?
(warum das was du dazu geschrieben hast keine Antwort ist habe ich im letzten Post geschrieben, was du scheinbar ignorierst).
Und falls du , auch bekannt als L, meinen solltest:
Der Invariantenring dazu steht in meinem vorletzten Post, scheinbar unbemerkt.
Vielleicht wär es mal eine gute Übung für obiges R und G=<(12)> den Ring zu bestimmen.
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois
Zitat:
Original von Captain Kirk
Du hast die eine zentralen Fragen meiner letzten beiden Posts nicht beantwortet:

Was ist das R vom dem du den Invariantenring betrachten willst?
(warum das was du dazu geschrieben hast keine Antwort ist habe ich im letzten Post geschrieben, was du scheinbar ignorierst).
Und falls du , auch bekannt als L, meinen solltest:
Der Invariantenring dazu steht in meinem vorletzten Post, scheinbar unbemerkt.
Vielleicht wär es mal eine gute Übung für obiges R und G=<(12)> den Ring zu bestimmen.


Falls das von Dir gemeint ist : Es ist so sind L und K ja sogar Körper. L einfacher, algebraischer, normaler also galoischer Erweiterungskörper von K.
Übung: Sei .
Es sind alle elementarsymmetrischen Polynome und andere gebildet aus den Nullstellen jeder kubischen Gleichung symmetrisch und invariant gegenueber S_3.
Auch Newtonidentitäten wie etc.
Es ist in unserem sind die primitiven 3ten Einheitswurzeln.
Es gilt dann auch . Potenzen ueber 2 werden nicht betrachtet, da

Ich hatte 2 Ringe, den Polynomring und den Ring der aus durch beliebige Addition und Multiplikation der a,b,c erzeugt wird, durcheinander gebracht.
Invariantenringe sind Polynomringe, also die Teilmenge der Unterring (oder Ideal?) der gegenüber einer Gruppe G invariant ist.
Jetzt zum Polynomring :
Sicher sind auf den ersten Blick alle elementarsymmetrischen Polynome .
aber nicht . Polynome wie , sowie aber nicht .

Ich holte etwas weiter aus, um mir selber was klar zu machen. Leider sehe ich keinen geschlossenen Ausdruck der den Übungs erzeugt.
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galois gruppen
Korrektur :
es muss heissen
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Missverstaendnis zu Galois gruppen
Also nach einigem Nachdenken ist zu .
der Invariantenring. Und auch Zwischenkörper zu L/K.
Thx
Jürgen
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Missverstaendnis zu Galoisgruppen
Hi
ich nochmal sehe gerade, dass alle Polynome, die enthalten, nennen wir sie S, auch im Invariantenring sind.
Ich hatte auch . Nun kann man sicher nicht einfach die Vereinigung von S und R bilden Ich möchte dies Thema nicht in einem Selbstgespräch benden und bitte nochmal um Rückmeldung, ja! es ist mir echt wichtig.
1000 Dank
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Missverstaendnis zu Galoisgruppen
Hi
Ich sehe jetzt, dass und ist.
Danke, wollte das nicht so offen stehen lassen.

Jürgen
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