Borel-Cantelli

20.08.2014, 17:53	TheRiddler	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-Cantelli Meine Frage: Hi. Es seien $\begin{eqnarray} X_1,X_2,... \end{eqnarray}$ unabhängige, identisch verteilte, nichtnegative Zufallsvariablen. Zeige mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli: $\begin{eqnarray} \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}X_n=\begin{cases} 0 ~~~\text{f.s.} &, \text{falls}~E(X_1)<\infty , \\ \infty ~\text{f.s.} &, \text{falls}~E(X_1)=\infty .\end{cases} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß leider überhaupt, nicht zu beginnen. Ich sehe auch den Zusammenhang noch nicht zwischen der Aussage und dem Lemma. Wenn ich $\begin{eqnarray} \int \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}X_n \,dP=0 \end{eqnarray}$ zeigen könnte, indem ich das auf $\begin{eqnarray} E(X_1)<\infty \end{eqnarray}$ zurückführe, so gilt die erste Aussage. Aber weiter weiß ich nicht.
25.08.2014, 17:29	TheRiddler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittlerweile habe ich eine Lösung gefunden, hoffentlich kann diese jemand bestätigen oder korrigieren. (Vielleicht kann ein Mod den obigen Ansatz rauseditieren; der ist Unsinn) Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} A_n=\left\{\frac{1}{n}X_n\geq\varepsilon\right\} \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty P[A_n]=\sum\limits_{n=1}^\infty P\left[\frac{1}{\varepsilon}X_n\geq n\right]=\sum\limits_{n=1}^\infty P\left[\frac{1}{\varepsilon}X_1\geq n\right]\leq\int \frac{1}{\varepsilon}X_1\,dP<\infty, \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} E[x_1]<\infty. \end{eqnarray}$ Der vorletzte Schritt gilt, da die Zufallsvariablen gleichverteilt sind und der letzte ist eine bekannte Abschätzung, die sich zB hier www[.]uni-due.de/~hm0110/Markovprocesses/Klenke.pdf als Satz 4.26 nachlesen lässt. (Die Aufgabe ist übrigens auch dort als Aufgabe 5.1.3 gestellt.) Nach dem Lemma von Borel-Cantelli gilt daher $\begin{eqnarray} P\left[\limsup\limits_{n\to\infty}A_n\right]=0. \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} P- \end{eqnarray}$ fast alle $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ gibt es also ein $\begin{eqnarray} n_0=n_0(\omega) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_n/n<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig gewählt worden ist, folgt $\begin{eqnarray} \limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}X_n=0 \end{eqnarray}$ fast sicher. Die zweite Behauptung lässt sich wie folgt zeigen: Wir ersetzen das $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ in der Definition von $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ durch ein $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ . Unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray} E[X_1]=\infty \end{eqnarray}$ und der Abschätzung nach oben in Satz 4.26 folgt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty P[A_n]=\infty \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} P\left[\limsup\limits_{n\to\infty}A_n\right]=1 \end{eqnarray}$ nach dem Lemma von Borel-Cantelli. Mit analoger Argumentation wie oben und Grenzübergang $\begin{eqnarray} \varepsilon\to\infty \end{eqnarray}$ folgt sodann die zweite Behauptung.

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