Gleichung auflösen

20.08.2014, 22:04

Lonie

Gleichung auflösen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
das hier (also im Bild, das ich angehängt habe) ist eine Gleichung, die nach q abgeleitet wurde. Ich muss sie nun nach q auflösen. Auch das Ergebnis steht schon da, ich habe nur keine Ahnung, wie das gehen soll.
Bitte helft mir!

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich die Potenzen loswerden muss. Früher oder später verstricke ich mich leider immer und komme gar nicht mehr weiter.

20.08.2014, 22:52

Hasgar

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Naja ich weiß jetzt nicht was die ganzen Variablen bedeuten sollen, aber ich gehe mal davon aus, dass sie alle vernünftig gewählt sind, so dass die Wurzeln immer definiert sind und man nicht durch 0 teilt usw.

Um weniger tippen zu müssen würde ich mal
$\begin{eqnarray*} x:= \frac{p_q}{y_A+y_R} \end{eqnarray*}$ definieren. Dann sind es noch paar einfache Umformungen....
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt{q_G}} \sqrt{y_A - 2 q_G x y_A} - x y_A \sqrt{\frac{q_G}{y_A - 2 x q_G y_A}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2 \sqrt{q_G}} \sqrt{1 - 2 q_G x} - x \sqrt{\frac{q_G}{1 - 2 x q_G}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sqrt{1 - 2 q_G x} - x q_G \sqrt{\frac{1}{1 - 2 x q_G}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1-2 q_G x}{2} - x q_G = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} - q_G x - x q_G = 0 \\ \Leftrightarrow q_G = \frac{1}{4x} \end{eqnarray*}$
und dann wieder x einsetzen.
Im Prinzip musst die Gleichnung immer nur geschickt multiplizieren um die verschiedenen Wurzeln loszuwerden, d.h. erst mit 1/wurzel(y_A) multiplizieren, dann mit wurzel(q_G) und dann mit wurzel (1-2q_G x).

21.08.2014, 10:02

Lonie

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Danke ich hab's so weit verstanden!
Nur: ist y_A+1/Wurzel(y_A)=1?
Vielleicht kenn ich die Regel einfach nicht, aber da bin ich kurz stecken geblieben.

21.08.2014, 10:41

Hasgar

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Die erste Gleichung

Zitat:

Original von Hasgar
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt{q_G}} \sqrt{y_A - 2 q_G x y_A} - x y_A \sqrt{\frac{q_G}{y_A - 2 x q_G y_A}} = 0 \end{eqnarray*}$

multiplizierst Du mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{y_A}} \end{eqnarray*}$
und damit verschwindet y_A aus der Gleichung (außer natürlich versteckt in x). Auf der linken Seite der Differenz sollte es klar sein und auf der rechten Seite kannst Du
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{y_A}} \end{eqnarray*}$
ausklammern und daher kürzt sich y_A komplett. Ists jetzt klar geworden?

21.08.2014, 12:09

Lonie

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Ich verstehe nicht ganz, was im zweiten Teil der Gleichung mit x_A*y_A passiert bzw. warum da das y_A bei Multiplizieren mit 1/Wurzel(y_A) verschwindet. Dass sich der Teil links unter der Wurzel wegkürzt ist logisch aber y_A/Wurzel(y_A) ist doch wiederum gleich Wurzel(y_A) oder nicht?

21.08.2014, 13:18

Hasgar

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ja richtig, aber in der großen Wurzel daneben hast im Nenner auch y_A, dass Du ausklammern und dann kürzen kannst.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{q_G}{y_A - 2 x q_G y_A}} = \frac{1}{\sqrt{y_A}} \cdot \sqrt{\frac{q_G}{1 - x q_G}} \end{eqnarray*}$

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