Zufallsgrössen (Wahrscheinlichkeitstheorie)

20.08.2014, 22:04

telli

Zufallsgrössen (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Meine Frage:
Hallo Freunde,

Es geht um das Verständnis von Zufallsgrössen. Bei einer Aufgabe verstehe ich die Notation nicht so ganz:
[attach]35159[/attach]

Meine Ideen:
Man soll wie in der Aufgabenstellung zeigen, dass die Angegebene "Bedingungen" Ereignisse sind.

Unter einem Ereignis verstehe ich eine Menge, die in der Sigma-Algebra(A) enthalten ist.

Nun das Problem:
Eine Zufallsgrösse ist im Skript definiert als,
$\begin{eqnarray*} X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in \mathcal{B}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$
Ich verstehe nicht wieso in der Klammer B steht und nicht eine Zahl aus R?

Ich kann doch schreiben:
$\begin{eqnarray*} X(A)= c \end{eqnarray*}$
für A eine Teilmenge von Omega und c eine reelle Zahl

z.B.
$\begin{eqnarray*} X(\left\{2,5,7\right\})=15 \end{eqnarray*}$

da aber X^-1 ja eine Umkehrabbildung ist müsste doch das Argument eine Zahl aus der Menge R sein und keine Menge?

also so:
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(15) = \left\{ 2,5,7\right\} \end{eqnarray*}$
bei der Aufgabe wäre das dann für den 1. Fall so
$\begin{eqnarray*} Z^{-1}(c) = \left\{ (-\infty,0]\right\}, c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
was verstehe ich falsch?

20.08.2014, 22:31

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

ausserdem wieso weiss man, dass (-unendlich,0] in A liegt? ich kenne doch A gar nicht?

21.08.2014, 11:33

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zufallsgrössen (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Zitat:

Original von telli
Nun das Problem:
Eine Zufallsgrösse ist im Skript definiert als,
$\begin{eqnarray*} X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in \mathcal{B}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$
Ich verstehe nicht wieso in der Klammer B steht und nicht eine Zahl aus R?

Sagen dir die Begriffe Bild und Urbild etwas?
Machen wir mal ein einfaches Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ . Wir wollen nun das Urbild des Intervalls $\begin{eqnarray*} (0,4) \end{eqnarray*}$ (was insbesondere eine messbare Menge ist) bestimmen. Es gilt: $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,4))=(-2,2) \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . So weit klar?
Das ist halt nur ein einfaches Beispiel, wo $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von telli
Ich kann doch schreiben:
$\begin{eqnarray*} X(A)= c \end{eqnarray*}$
für A eine Teilmenge von Omega und c eine reelle Zahl[/l]
Das ginge so, wenn A ein Element von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ wäre. Aber eine Teilmenge wird auf eine Teilmenge im Bildraum abgebildet, hier könnte das z.B. die Menge $\begin{eqnarray*} \{c\} \end{eqnarray*}$ sein.

[quote]Original von telli
da aber X^-1 ja eine Umkehrabbildung ist müsste doch das Argument eine Zahl aus der Menge R sein und keine Menge?

Du solltest, wie oben schon gesagt, hier $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ als Urbild verstehen. Eine Umkehrabbildung muss unter den hier genannten Voraussetzungen nicht existieren.

Zitat:

Original von telli
ausserdem wieso weiss man, dass (-unendlich,0] in A liegt? ich kenne doch A gar nicht?

Das steht doch auch gar nicht da. Schau noch mal genau hin, was in der Sigma-Algebra A liegen soll. Wenn du verstehst, was ich oben beschrieben hatte, sollte das dann auch klar werden.

21.08.2014, 13:07

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo magic_hero danke für deine Antwort

Zitat:

Sagen dir die Begriffe Bild und Urbild etwas?

Ja klar. Alle Elemente in der Menge des Urbilds werden in die Bildmenge abgebildet.

Das Beispiel habe ich verstanden. Du nimmst die 0 in der Bildmenge raus, da in der Urbildmenge 0 ein Randelement ist und die Menge nicht abgeschlossen.

Kann es sein, dass Messbarkeit auch Linkseindeutigkeit äquivalent sind?

Also zurück zur Aufgabe:
Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left\{X \leq Y \right\} \end{eqnarray*}$ ein Ereignis ist.

Da $\begin{eqnarray*} X-Y \leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} aX+bY,\forall a b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch eine Zufallsgrösse ist, kann man definieren: $\begin{eqnarray*} Z:=X-Y \end{eqnarray*}$

Nun gilt $\begin{eqnarray*} Z \leq 0 \end{eqnarray*}$
Das Bild ist also $\begin{eqnarray*} BILD = \left\{(-\infty,0]\right\} \end{eqnarray*}$ und da man weiss, dass Z eine Zufallsgrösse ist muss auch die Messbarkeit für Z gelten somit gilt auf jeden Fall auch $\begin{eqnarray*} Z^{-1}(BILD) = URBILD\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ?

In der Definition wurde das BILD = B als ein Element aus der Borel Sigma Algebra definiert. Nun muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} BILD \end{eqnarray*}$ also in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ liegt? Wie mache ich das?
Ich weiss, dass die BorelSigmaAlgebra alle offenen Intervalle in R beinhaltet. Man muss dann irgendwie zeigen, dass auch Abgeschlossene Intervalle drin liegen und damit ein halboffenes Intervall bilden?

21.08.2014, 13:39

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von telli

Zitat:

Sagen dir die Begriffe Bild und Urbild etwas?

Ja klar. Alle Elemente in der Menge des Urbilds werden in die Bildmenge abgebildet.

Die Formulierung ist etwas unglücklich, da man erst dann von einem Urbild sprechen kann, wenn man eine Menge im Bildbereich einer Abbildung gegeben hat, aber du meinst wohl das richtige.

Zitat:

Original von telli
Das Beispiel habe ich verstanden. Du nimmst die 0 in der Bildmenge raus, da in der Urbildmenge 0 ein Randelement ist und die Menge nicht abgeschlossen.

Konkret ist das jetzt gar nicht so wichtig, sondern nur dass klar ist, dass man auch betrachten kann, was Abbildungen mit Mengen machen.

Zitat:

Original von telli
Kann es sein, dass Messbarkeit auch Linkseindeutigkeit äquivalent sind?

Nein, das hat nichts miteinander zu tun.

Zitat:

Original von telli
Da $\begin{eqnarray*} X-Y \leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} aX+bY \ \forall a \textcolor{red}{,} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch eine Zufallsgrösse ist, kann man definieren: $\begin{eqnarray*} Z:=X-Y \end{eqnarray*}$

Nun gilt $\begin{eqnarray*} Z \leq 0 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin okay. (An einer Stelle fehlt ein Komma, das habe ich ergänzt.)

Zitat:

Original von telli
Das Bild ist also $\begin{eqnarray*} BILD = \left\{(-\infty,0]\right\} \end{eqnarray*}$

Hier müssen die Mengenklammern weg. Das "Bild" (hier eigentlich besser die Menge, von der das Urbild unter Z genommen wird, da wir ja gar nicht wissen, ob alle Punkte aus dem Bild "getroffen" werden) ist nicht die Menge mit diesem Intervall, sondern das Intervall selbst.

Zitat:

Original von telli
und da man weiss, dass Z eine Zufallsgrösse ist muss auch die Messbarkeit für Z gelten somit gilt auf jeden Fall auch $\begin{eqnarray*} Z^{-1}(BILD) = URBILD\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ?

Das verstehe ich nicht ganz, also den Inhalt des Satzes. Die Argumentation ist wie folgt: Weil Z eine Zufallsgröße ist, ist das Urbild einer Borel-Menge unter Z messbar (das ist die Definition von einer Zufallsgröße). Du musst also nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ Borel-messbar ist. Diese Tatsache sollte aber eigentlich klar sein (davon gehe ich jedenfalls aus, dass das gesagt oder schon gezeigt wurde, da das sonst in der Lösung wohl angesprochen würde).

Zitat:

Original von telli
In der Definition wurde das BILD = B als ein Element aus der Borel Sigma Algebra definiert. Nun muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} BILD \end{eqnarray*}$ also in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ liegt? Wie mache ich das?
Ich weiss, dass die BorelSigmaAlgebra alle offenen Intervalle in R beinhaltet. Man muss dann irgendwie zeigen, dass auch Abgeschlossene Intervalle drin liegen und damit ein halboffenes Intervall bilden?

Okay, wenn das tatsächlich noch nicht gezeigt wurde, kannst du das jetzt natürlich noch zeigen. Das kann man aber recht einfach zusammenbasteln, indem man sich die Definition einer Sigma-Algebra gut anschaut und dann diese Eigenschaften plus die Tatsache, dass alle offenen Intervalle drin liegen, ausnutzen. Übrigens: Dass alle abgeschlossenen Mengen in der Borelschen Sigma-Algebra liegen, kann man direkt daraus (dass alle offenen Intervalle in ihr liegen) folgern.

21.08.2014, 14:04

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} Z^{-1}(BILD) = URBILD\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

Damit meine ich einfach, dass das Urbild in der Sigma-Algebra A liegen muss, wenn man sagt Z sei eine Zufallsgrösse d.h. das folgt bereits aus der Messbarkeit.

Zitat:

Dass alle abgeschlossenen Mengen in der Borelschen Sigma-Algebra liegen, kann man direkt daraus (dass alle offenen Intervalle in ihr liegen) folgern.

Die Komplemente wären dann die abgeschlossenen Mengen. Somit wären auch alle Punktmengen drin. Wenn man den Durchschnitt von einer offenen mit einer geschlossenen Menge bildet (welche ja wiederum eine Borel-Menge sein soll) bekommt man auch die halboffenen Intervalle..

21.08.2014, 14:21

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von telli
$\begin{eqnarray*} Z^{-1}(BILD) = URBILD\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

Damit meine ich einfach, dass das Urbild in der Sigma-Algebra A liegen muss, wenn man sagt Z sei eine Zufallsgrösse d.h. das folgt bereits aus der Messbarkeit.

Solange dir klar ist, dass das in dieser Form formal nicht sauber ist, okay. Man schreibt das dann eben so wie in der Lösung, ruhig aber noch ein bisschen ausführlicher (so wie wir hier schon argumentiert hatten).

Zitat:

Original von telli

Zitat:

Dass alle abgeschlossenen Mengen in der Borelschen Sigma-Algebra liegen, kann man direkt daraus (dass alle offenen Intervalle in ihr liegen) folgern.

Das könnte man noch formalisieren (und dabei vielleicht etwas präziser sein), aber grundsätzlich klingt das so ganz gut. Beachte auch noch die Unbeschränktheit des Intervalls - da braucht man eventuell noch ein weiteres Argument (nämlich: abzählbare Vereinigungen von Mengen aus der Sigma-Algebra liegen wieder in der Sigma-Algebra..).

Neue Frage »

Antworten »

Zufallsgrössen (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Verwandte Themen