Satz von Stokes

21.08.2014, 00:15

HBX8X

Satz von Stokes

Hallo,

ich bereite mich auf eine Klausur vor und alles in allem kann ich fast alles relevante bereits. Die ,,einzigen" probleme bereiten mir die Integralsätze (Gauß, Green, Stokes)... Die Aufgabenstellungen sind eigentlich fast immer gleich gestellt, bloß muss ein anderer Satz angewendet werden. Deshalb würde ich gerne wissen wie ich im allgemeinen vorzugehen habe, insbesondere bei der im Anhang hochgeladene Aufgabe um ein Beispiel nennen zu können. Mir fehlt es eigentlich nur bei der jeweiligen Umwandlung, das Integral an sich zu berechnen ist ja kein großes Problem.

Meine Idee: Gefordert ist es, den Satz von Stokes zu nutzen. Dieser ist wie folgt zu verstehen:

"Mit dem Stokeschen Satz kann man ein (Ober-)Flächenintegral in ein geschlossenens Kurvenintegral umwandeln (und umgekehrt), wobei die geschlossene Kurve gerade der Rand der Fläche ist."

Da ich eine Oberfläche gegeben habe vermute ich, dass ich es in ein Kurvenintegral umwandeln soll..Ein Vektorfeld habe ich ebenfalls gegeben..

Wie wandel ich nun aber die Oberfläche in ein Kurvenintegral um? Bei einer Fläche könnte man drumherum gehen aber im IR^3 bzw. als dreidimensionaler Körper ?

21.08.2014, 07:09

Jayk

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RE: Satz von Stokes
Für welches Fach lernst du denn? Hört sich für mich nach einer Klausur in theoretischer Physik oder irgendein Mathe für Nichtmathematiker an... Dann stell die Aufgabe vielleicht lieber im Physikerboard, dort kommen regelmäßig Fragen zu den Integralsätzen der klassischen Vektoranalysis an, weil sie im Matheboard zu wenig Resonanz finden...

Zitat:

Original von HBX8X
Wie wandel ich nun aber die Oberfläche in ein Kurvenintegral um? Bei einer Fläche könnte man drumherum gehen aber im IR^3 bzw. als dreidimensionaler Körper ?

Genau so. Konkret geht es um den Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit (nicht zu verwechseln mit ihrem topologischen Rand). Wenn es für eine Physikklausur ist, werden dich die Details wahrscheinlich nicht interessieren, dann ist die Antwort einfach "Ja, mach dir keine Sorgen". Ansonsten: Du kannst die Fläche O diffeomorph auf die xy-Ebene projizieren. Dort hast du dann einfach einen Kreis, mittels Polarkoordinaten bekommst du zwei (oder mehr) Homöomorphismen offener Teilmengen (z.B. Schnitte mit geschlitzten Ebenen) in offene Teilmengen einer Halbebene des IR², wobei die "Kontur" des Kreises gerade auf die Nulllinie abgebildet wird. Konkret könnte das so aussehen (mit geeigneter Einschränkung):

$\begin{eqnarray*} d : (x, y, z) \mapsto (x, y, 0) \end{eqnarray*}$ (ist diffeomorph, also unbedenklich)
$\begin{eqnarray*} h: (x, y) \mapsto (\sqrt{x^2 + y^2} - 2, \operatorname{arctan} (y/x) ) \end{eqnarray*}$

Diese Kartenwahl erhebt keinen Anspruch, besonders elegant oder lehrreich oder was-auch-immer zu sein: Vor allem bekommt man mit dieser Definition nur einen kleinen Bereich (wegen des Arcustangens), die Wurzel ist auch unnötig (aber dafür anschaulich). Ich will nur das Prinzip verdeutlichen: Wenn du $\begin{eqnarray*} (h \circ d)^{-1} (0, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ betrachtest und das selbe für weitere Karten machst, bekommst du gerade die $\begin{eqnarray*} \lbrace (x, y, z) \in O : x^2 + y^2 = 4 \rbrace = \partial O \end{eqnarray*}$ , was deine Integrationslinie ist.

Oder lernst du tatsächlich für eine Matheklausur? Für mich wirkt es so, als ob du mit etwas arbeiten musst, das ihr eigentlich gar nicht so wirklich definiert habt... Beim Induktionsgesetz fragt aber witzigerweise auch keiner danach, über welche Fläche im dreidimensionalen Raum denn nun der magnetische Fluss berechnet werden soll, wenn bloß eine Leiterschleife (= Rand) gegeben ist... Tatsächlich ist das Ergebnis unabhängig davon.

PS: Alternativ kann man den Satz von Stokes auch für singuläre Ketten formulieren. Das wird aber, wie mir scheint, selten gemacht.

21.08.2014, 10:51

Gast9182834

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Hallo,

ich habe ähnliche Beispiele in Analysis 2 lösen müssen.
Ich denke, was ihr gemacht habt, ist nicht der allgemeine Satz von Stokes, sondern der "Satz von Kelvin-Stokes". Damit braucht man sich nicht um Homöomorphismen und ähnliches kümmern, sondern hat lediglich ein paar wenige Voraussetzungen zu überprüfen.

Mithilfe des Satzes kannst - wie du gesagt hast - ein Oberflächenintegral durch ein Kurvenintegral ersetzen. Bei der Kurve handelt es sich um die Randkurve der Oberfläche, die in deinem konkreten Beispiel offensichtlich ein Kreis mit Radius 2 und Höhe 4 ist.

Im Allgemeinen kommst du zu der Randkurve, indem du eine Parameterdarstellung der Oberfläche nimmst, eine Parameterdarstellung für die Randkurve des Definitionsbereichs dieser suchst und die beiden Funktionen hintereinanderausführst.
In deinem Fall wäre eine Möglichkeit:
$\begin{eqnarray*} \phi: K \subset \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \phi(x,y) := (x,y,x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ mit K als Kreis mit Radius 2 als Parameterdarstellung von O
$\begin{eqnarray*} \gamma: [0,1) \rightarrow \mathbb R^2, \gamma(t) := (2 cos(t), 2 sin(t)) \end{eqnarray*}$ als Parameterdarstellung von K

Eine positiv orientierte Randkurve von $\begin{eqnarray*} \partial O \end{eqnarray*}$ hat dann die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \phi \circ \gamma: [0,1) \rightarrow \mathbb R^3, \phi(\gamma(t)) := (2 cos(t), 2 sin(t), 4 sin^2(t) + 4 cos^2(t)) = (2 cos(t), 2 sin(t), 4) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist allerdings, was bei deinem Beispiel zu berechnen ist...

Ich hoffe, das hilft ein wenig.

21.08.2014, 11:10

Gast9182834

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Sorry, der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \circ \gamma \end{eqnarray*}$ sollte natürlich $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ sein.
Weiters ist Gamma nicht die Parameterdarstellung von K, sondern von der positiv orientierten Randkurve von K.

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