Unabhängig und identitsch verteilte Zufallsvariablen

21.08.2014, 00:26	Helmi121	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängig und identitsch verteilte Zufallsvariablen Aufgabe $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ seien u.i.v. (unabh. identisch verteilt) Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} E(X_i) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(X_i) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_i=X^2_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ . a) Der Ausdruck $\begin{eqnarray} P(-0.3 < \bar{X_n} < 0.5) \end{eqnarray}$ konvergiert ("strebt") für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen unendlich... (A) ...gegen 0. (B) ...gegen einen Wert aus (0,1). (C) ...gegen 1. (D) ...nicht. b) $\begin{eqnarray} plim ( \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} X^2_i) \end{eqnarray}$ (A) existiert nicht (B) ist $\begin{eqnarray} \leq 0.8 \end{eqnarray}$ (C) ist $\begin{eqnarray} > 0.8 \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: a) $\begin{eqnarray} P(-0.3 < \bar{X_n} < 0.5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar{X_n} \end{eqnarray}$ ist das arithmetische Mittel. So weit ich weiß, ist der Erwartungswert dann wie folgt definiert. $\begin{eqnarray} E(\bar{X_n})=E(\frac{1}{n} \sum^n_{i=1}X_i) = \frac{1}{n} \sum^n_{i=1}E(X_i) = ... = \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist ja oben gegeben. $\begin{eqnarray} E(X_i) = 0 \end{eqnarray}$ Gleichzeitig haben wir die Varianz gegeben als $\begin{eqnarray} Var(X_i) = 1 = \sigma^2 \end{eqnarray}$ hier gilt für große n: $\begin{eqnarray} Var(\bar{X_n}) = \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}$ Also strebt die Varianz für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und die Funktion streut immer weniger um $\begin{eqnarray} \mu = 0 \end{eqnarray}$ . Somit strebt $\begin{eqnarray} P(-0.3 < \bar{X_n} < 0.5) \end{eqnarray}$ für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \bar{X_n} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ strebt und somit genau im Intervall liegt. Habe ich mir das so richtig erklärt? b) Es ist schon spät, mir fällt gerade nichts mehr ein, evtl. kann mir dazu ja jemand einen Tip geben? Danke im Voraus !

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