DGL 2. Ordnung AWP mit Laplace und Faltung

21.08.2014, 13:38	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2. Ordnung AWP mit Laplace und Faltung Hallo, folgende Aufgabe möchte ich lösen. Dabei ist x(t) das Eingangssignal und y(t) das Ausgangssignal. Gesucht ist das Ausgangssignal y(t). $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dt^2}y(t)+4y(t)=2\frac{d}{dt}x(t)\quad \text{mit} \quad \frac{d}{dt}y(0)=-2 \qquad y(0)=1 \end{eqnarray}$ Mit Laplace-Transformation folgt daraus im Bildbereich: $\begin{eqnarray} Y(s)=\frac{2s}{s^2+4}X(s)+\frac{s}{s^2+4}-\frac{2}{s^2+4} \end{eqnarray}$ . Rücktransformiert in den Zeitbereich: $\begin{eqnarray} y(t)=(2cos(2t)\ast x(t)+cos(2t)-sin(2t))\varepsilon (t) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \varepsilon (t) \end{eqnarray}$ die ganz normale Sprungfunktion/Heavyside-Funktion. So jetzt soll ich das Ausgangssignal mittels Faltung berechnen, wenn $\begin{eqnarray} x(t)=\varepsilon (t) \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} y(t)=h(t) \ast \varepsilon (t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau )\cdot \varepsilon (t-\tau )d\tau \end{eqnarray}$ Ab jetzt bin ich mir nicht mehr im Klaren, wie es weiter geht bzw. rechne ich falsch. Was muss ich als h(t) wählen? Ich würde es folgendermaßen machen: $\begin{eqnarray} y(t)=2cos(2t)\varepsilon (t) \ast \varepsilon (t)=2\int_{-\infty}^{\infty}cos(2\tau )\varepsilon (\tau )\cdot \varepsilon (t-\tau )d\tau \end{eqnarray}$ . Die Sprungfunktion ist für Werte <0 gleich 0, damit dann auch das ganze Integral. Daher interssiert mich nur der Bereich, wo $\begin{eqnarray} \varepsilon (t)=1 \end{eqnarray}$ ist. Das ist im Bereich $\begin{eqnarray} 0\leq \tau \leq t \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow 2\int_{0}^{t}cos(2\tau )d\tau =sin(2t) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} y(t)=sin(2t)+cos(2t)\varepsilon(t)-sin(2t)\varepsilon(t) \end{eqnarray}$ . Das ist aber falsch. Richtig wäre: $\begin{eqnarray} y(t)=cos(2t)\varepsilon(t) \end{eqnarray}$ . Mir fehlt irgendwie ein $\begin{eqnarray} \varepsilon(t) \end{eqnarray}$ beim Ergebnis von der Faltung. Dann würde es hinkommen. Aber wenn ich das $\begin{eqnarray} \varepsilon(t) \end{eqnarray}$ ganz am Anfang nicht mit in die Klammer ziehe, dann kann ich das Integral nicht berechnen, da die Grenzen dann $\begin{eqnarray} -\infty \leq \tau \leq t \end{eqnarray}$ wären. Wenn sich das bis hierher jemand angeguckt hat und mir helfen könnte, wäre das phänomenal. Vielen Dank für eure Mühe. Viele Grüße Xbf

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