Parameterdarstellung

21.08.2014, 17:04

sdfgasg

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Parameterdarstellung

Kann mir jemand bestätigen das die Parameterdarstellung (t,t^2 -1) <-> (-t,t^2 -1) ist?

Wolfram Alpha gibt mir den selben graphen aus ..... Würde es demnach egal sein welches ich verwende und würden mich rchnungen (Integral) aufdieselben Lösungen bringen ?

21.08.2014, 17:31

Che Netzer

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RE: Parameterdarstellung

Zitat:

Original von sdfgasg
Kann mir jemand bestätigen das die Parameterdarstellung (t,t^2 -1) <-> (-t,t^2 -1) ist?

Was soll das denn für ein Satz sein? Was soll diese Zeichenkette bedeuten? Wenn $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sein soll, werden durch $\begin{eqnarray*} (t,t^2-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-t,t^2-1) \end{eqnarray*}$ zwar dieselben Mengen parametrisiert, aber ich würde dennoch für diverse Zwecke eine Unterscheidung vornehmen.
Wie ist also "<->" zu verstehen?

21.08.2014, 17:37

sdfgasg

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Es geht um den Satz von Gauß in der Ebene, da wurde laut Musterlösung folgende parametrisierungen gewählt:

1) (-t,t^2 -1)
2) (sint,cost)

Ich dagegen komme nur auf folgende:

1) (t,t^2 -1)
2)(cost,sint)

Laut WolframAlpha ist der Graph aber äquivalent ....Die Parameterdarstellung ist wichtig um die Integrale zu berechnen...Gewhlt wurden diese von

y-x=1 und x^2-y=1

21.08.2014, 17:50

Che Netzer

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Zitat:

Laut WolframAlpha ist der Graph aber äquivalent

Aber was soll das heißen? Was müssen zwei Parametrisierungen denn erfüllen, damit sie "für deine Zwecke gleichwertig" sind? (Das ist übrigens kein gemeines Nachbohren, sondern eine wichtige Verständnisfrage)

21.08.2014, 18:00

sdfgasg

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Ich weiss nicht ehrlich gesagt....

Kanst du mir sagen wie man eigentlich ,,richtig" parametrisierst? Ich muss zugeben, dass ich auch ganz schön rate...

zb. falls y-1=x gegeben ist, forme ich das um nach y=1+x um es einzuzeichnen in das Koordinatensystem. Als Parameterdarstellung würde ich dann (t,t+1) nehmen. Ich setze einfach x=y=t und was in der Gleichung dann nach links und rechts aufgeteil wurden ist setze ich dann gleich x bzw. y-Koordinate von (x(t),y(t))....Sehr viel humbog ich weiss, aber erstaunlicherweise scheint das fast immer zu stimmen...

21.08.2014, 18:03

sdfgasg

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Ich meinte y-x=1..

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21.08.2014, 18:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Kanst du mir sagen wie man eigentlich ,,richtig" parametrisierst?

Da gibt es leider kein Kochrezept.
Falls die Kurve allerdings durch eine Gleichung gegeben ist, könnte man diese nach einer Variablen umstellen, so dass man einen Graphen einzeichnen kann, wie du es schon getan hast.

Zitat:

Ich setze einfach x=y=t

Nur eine der Variablen sollte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein. Stell dir $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor. Daher schreibe ich mal kurz $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Den Graphen von $\begin{eqnarray*} f(x)=1+x \end{eqnarray*}$ (bzw. den der so definierten Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ) kannst du ja sicher zeichnen. Jetzt schreib einfach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - eine bloße Umbenennung -, also $\begin{eqnarray*} f(t)=1+t \end{eqnarray*}$ . Der Graph besteht aber aus allen Punkten der Form $\begin{eqnarray*} (t,f(t))=(t,1+t) \end{eqnarray*}$ .
Genauso besteht die durch $\begin{eqnarray*} y=1+x \end{eqnarray*}$ beschrieben Menge aus allen Punkten der Form $\begin{eqnarray*} (x,y)=(x,1+x) \end{eqnarray*}$ .

Worauf ich übrigens hinauswollte: Bei der Parametrisierung einer Kurve gibt es tatsächlich "äquivalente Parametrisierungen", aber ein wesentlicher Unterschied (insbesondere für die Integration) ist die Richtung, in welcher die Kurve durchlaufen wird (bzw. die Orientierung der Kurve).

Zitat:

Ich meinte y-x=1..

Das ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} y-1=x \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2014, 18:25

sdfgasg

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Danke sehr, denn das hat mir wirklich sehr geholfen!

"Worauf ich übrigens hinauswollte: Bei der Parametrisierung einer Kurve gibt es tatsächlich "äquivalente Parametrisierungen", aber ein wesentlicher Unterschied (insbesondere für die Integration) ist die Richtung, in welcher die Kurve durchlaufen wird (bzw. die Orientierung der Kurve)."

Das verstehe ich noch nicht ganz recht....

Betrachten wir zum Beispiel den Einheitskreis x^2+y^2=1 (Der war hier auch gegeben). Nun weiss ich das ich diesen durch (r*cos t,r*sin t) darstellen kann (Bekannte Parametrisierung), mit Radius r=1. Hier könnte man deine genannte Methode mit einer Variable =t setzen nicht anwenden oder? Oder gilt tatsächlich folgendes für die y(t) Koordinate von (x(t),y(t))

t^2+y^2=1 <-> y=sqrt(1-t^2) <-> y=cos(t)

<-> soll ,,äquivalent zu" heißen...

21.08.2014, 18:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Hier könnte man deine genannte Methode mit einer Variable =t setzen nicht anwenden oder?

Genau, das geht nur wenn man die Gleichung nach einer Variablen auflösen kann. Wenn man also etwas wie $\begin{eqnarray*} y=y(x)=\dotso \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=x(y)=\dotso \end{eqnarray*}$ erhalten kann. Die Variable, die dann im Argument steht, kann man dann $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nennen.

Zitat:

t^2+y^2=1 <-> y=sqrt(1-t^2) <-> y=cos(t)

Beide Äquivalenzen sind falsch. Erstens ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2}=\lvert y\rvert \end{eqnarray*}$ und zweitens ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-t^2}\neq\cos t \end{eqnarray*}$ .

21.08.2014, 18:44

sdfgasg

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Zwei Sachen.

1. Ich würde die von mir genannte Parametrisierung (cost,sint) wählen. In der Musterlösung steht jedoch (sint,cost). Es geht um 1/4 eines Einheitskreises (1. Quadrant), also [0,pi/2] -> IR^2. Wie kommt mein Dozent auf sein Ergebnis?

2. ,,Genau, das geht nur wenn man die Gleichung nach einer Variablen auflösen kann. "

Das erschließt sich mir nicht ganz.. Ich kann doch immer nach einer Variablen auflösen?^^

Hier ein letztes Beispiel mit x^2-y=1. Laut Musterlösung gilt: (-t,t^2-1).

Wenn ich nun das von dir genannte anwende: x=t bzw y=t und nach der anderen jeweiligen Variable auflöse komm ich auf y=t^2-1 (Stimmt laut Musterlösung!) und x=sqrt(1+t) ...

21.08.2014, 18:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Wie kommt mein Dozent auf sein Ergebnis?

Er hat sich wohl einfach für diese Parametrisierung entschieden, falls es nicht um die Orientierung ging.

Zitat:

Ich kann doch immer nach einer Variablen auflösen?^^

Nein, bei $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ z.B. nicht.

Zitat:

und x=sqrt(1+t) ...

Nein. Das geht zunächst einmal sowieso nur für $\begin{eqnarray*} t\geq-1 \end{eqnarray*}$ . Aber wie willst du mit dieser Darstellung jemals negative Werte für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhalten?
Anders gefragt: Wenn du $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ lösen sollst, kommst du dann auch nur auf $\begin{eqnarray*} x=\sqrt1=1 \end{eqnarray*}$ ?

21.08.2014, 19:00

sdfgasg

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Danke schön, jetzt muss ich nur noch verstehen wieso man manches nicht so eifnach auflösen kann.... Mir ist aufgefallen das es immer bei Wurzelfunktionen falsch ist.

Du meintest wohl, dass diese parametrisierung nur so funktionert, wenn die Lösungsmenge ,,eindeutig" ist und nicht zwei Lösungen besitzt wie zb. bei x^2=1 -> L={-1,1}

Soll ich das so verstehen? Und wenn ja, was muss ich dann machen ?

21.08.2014, 19:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Du meintest wohl, dass diese parametrisierung nur so funktionert, wenn die Lösungsmenge ,,eindeutig" ist und nicht zwei Lösungen besitzt wie zb. bei x^2=1 -> L={-1,1}

Ja, gewissermaßen.

Zitat:

Und wenn ja, was muss ich dann machen ?

Wie gesagt: Es gibt kein Kochrezept.

21.08.2014, 19:12

sdfgasg

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Könntest du mir dann sagen was ich dann in so einem Fall machen soll ? Ich muss das ja irgendwie lösen letztendlich.^^

Insbesondere im Zusammenhang mit x^2-y=1. Die y Koordinate ist ja richtig aber die y-Koordinate lautet dann x=sqrt(1+t) und diese ist ,,nicht eindeutig"...Laut musterlösung sollte es -t sein.

21.08.2014, 21:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Könntest du mir dann sagen was ich dann in so einem Fall machen soll ?

Probieren und nachdenken.

Zitat:

Die y Koordinate ist ja richtig aber die y-Koordinate lautet dann x=sqrt(1+t) und diese ist ,,nicht eindeutig"...Laut musterlösung sollte es -t sein.

Das ist leider unverständlich...

21.08.2014, 21:15

sdfgasg

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,,Die y Koordinate ist ja richtig aber die y-Koordinate lautet dann x=sqrt(1+t) und diese ist ,,nicht eindeutig"...Laut musterlösung sollte es -t sein."

Ja stimmt, das ist ziemlich unverständlich ausgedrückt worden. Kurz gesagt wollte ich damit aussagen, dass ich nicht auf die Musterlösung x=-t komm..

Nachdenken und probieren ist gut, aber ich bin definitiv nicht in der Lage die Lösung dafür zu bestimmen (da es ja nicht einmal ein einheitliches Verfahren dafür gibt) Wink

Wink

22.08.2014, 00:09

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Ja stimmt, das ist ziemlich unverständlich ausgedrückt worden. Kurz gesagt wollte ich damit aussagen, dass ich nicht auf die Musterlösung x=-t komm..

Was ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

da es ja nicht einmal ein einheitliches Verfahren dafür gibt

Du möchtest doch wohl nicht alles blind nach einem Algorithmus lösen können? Wieso solltest du dann überhaupt studieren?

22.08.2014, 00:29

sdfgasg

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Wie würdest du das denn lösen ? Leider finde ich unter meiner Lektüre und dem Internet rein gar nichts. Wenn du mich besseres belehren könntest wäre das prima. Wink

Wink

t ist laut ,,Parameterdarstellung" auf Wikipedia der Winkel zwischen der Abszissenachse und dem ,,Vektor" der auf den jeweiligen Punkt im Koordinatensystem zeigt. Durch Werteangaben bzgl. t könnte dieser nun rotieren etc.

22.08.2014, 00:39

Che Netzer

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Es geht doch um $\begin{eqnarray*} x^2-y=1 \end{eqnarray*}$ , oder? Ein Winkel wird $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ da wohl nicht sein. Die Gleichung kannst du jedenfalls wunderbar nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen. Ob du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -t \end{eqnarray*}$ nennst (wobei $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ), spielt nur für die Orientierung eine Rolle.

22.08.2014, 00:50

sdfgasg

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x^2 -y=1 ist gegeben. Hiervon will ich nun die Parameterdarstellung bestimmen. Es folgt für die y(t) Koordinate y(t)=t^2 -1. Kein Problem, keine Wurzel -> ,,Eindeutige Lösung".

Wenn ich jetzt nach x auflöre, dann kann ich sie nicht wunderbar auflösen, da das Wurzelproblem kommt (2 Lösungen) .... Oder was willst du mir sagen ? Kann ich nicht einfach die positive Lösung nutzen ?

22.08.2014, 10:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von sdfgasg
Kein Problem, keine Wurzel -> ,,Eindeutige Lösung".

Das ist natürlich sehr schwammig formuliert.

Zitat:

Wenn ich jetzt nach x auflöre

Das will man doch gar nicht...

Zitat:

Oder was willst du mir sagen ?

Ich wollte dir ungefähr zum dritten Mal sagen, dass der Unterschied bei den Parametrisierungen durch $\begin{eqnarray*} (t,t^2-1) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-t,t^2-1) \end{eqnarray*}$ in der Orientierung liegt.

Zitat:

Kann ich nicht einfach die positive Lösung nutzen ?

Nein, natürlich nicht!

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