Differentialgleichung mit Laplace-Transformation lösen

21.08.2014, 21:23	mariem	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit Laplace-Transformation lösen Hallo! Um die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y''+4y'+4y=f(t) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(t)=\left\{\begin{matrix}<br /> \cos{( \omega t)} & , 0 <t < \pi \\<br /> 0 & , t > \pi<br /> \end{matrix}\right.<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0) = 0 , y'(0) = 1 \end{eqnarray}$ zu lösen habe ich folgendes gemacht: Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kann man auch so schreiben: $\begin{eqnarray} f(t)=\cos{( \omega t)} - u_{\pi}(t) \cos{( \omega t)} \end{eqnarray}$ , oder nicht? $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y)=Y(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y')=sY(s)-y(0)=sY(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y'')=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(f(t))=\mathcal{L}(\cos{( \omega t)}-u_{\pi}(t) \cos{(\omega t)} )= \\ \mathcal{L}(\cos{( \omega t)})-\mathcal{L}(u_{\pi}(t) \cos{(\omega t)})=\frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \mathcal{L}(\cos{(\omega (t+\pi))})= \\ \frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \mathcal{L}(\cos{(\omega t+\omega \pi)})=\frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \mathcal{L}(\cos{(\omega t)} \cos{(\omega \pi)}-\sin{(\omega t)} \sin{(\omega \pi)})= \\ \frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\mathcal{L}(\cos{(\omega t)}) +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\mathcal{L}(\sin{(\omega t)} )=<br /> \frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\frac{s}{s^2+\omega^2} +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} y''+4y'+4y=f(t) \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow } s^2Y(s)-1+4sY(s)+4Y(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\frac{s}{s^2+\omega^2} +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \\ \Rightarrow (s^2+4s+4)Y(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\frac{s}{s^2+\omega^2} +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\frac{\omega}{s^2+\omega^2}+1 \\ \Rightarrow (s+2)^2Y(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\frac{s}{s^2+\omega^2} +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\frac{\omega}{s^2+\omega^2}+1 \\ \Rightarrow Y(s)=\frac{1}{(s+2)^2} \left ( \frac{s}{s^2+\omega^2}-e^{-\pi s} \cos{(\omega \pi)}\frac{s}{s^2+\omega^2} +e^{-\pi s}\sin{(\omega \pi)}\frac{\omega}{s^2+\omega^2}+1\right ) \end{eqnarray}$ Ist es bisher richtig?

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