Auflösen einer komplexen Gleichung

21.08.2014, 22:06	matheobo	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösen einer komplexen Gleichung Guten Abend ich habe folgende komplexe Gleichung gegeben und soll diese nach z auflösen. $\begin{eqnarray} \left(1+z\right)^{5} = \left(1-z\right)^{5} \end{eqnarray}$ Bisher habe ich versucht die Gleichung so umzuformen dass ich die fünte wurzel ziehen kann, bin dabei allerdings nicht weiter gekommen als: $\begin{eqnarray} \left( \frac{1+z}{1-z} \right)^{5} = 1 \end{eqnarray}$ Nach diesem Schritt habe ich versucht z jeweils in Real und Imaginärteil aufzuspalten und dann unter dem Bruchstrich mit dem komplex konjugierten zu erweitern, was mich allerdings auch nicht weiter gebracht hat. Laut Musterlösung soll das Ergebnis $\begin{eqnarray} \{\frac{i\sin(\phi)}{1+\cos(\phi)} \|\phi=k\frac{2\pi}{5}, k = 0,1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ Dass das k=0,1,2,3,4 dabei durch das Ziehen der fünften Wurzel zustande kommt ist mir klar, allerdings ist mir nicht klar mit welchen Schritten ich zu dem restlichen Teil der Lösung kommen soll. Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen
21.08.2014, 22:21	Bernhard1	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann (EDIT: in der ersten Gleichung) die 5te Potenz ausmultiplizieren und dann kürzen.
21.08.2014, 23:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher scheint mir der Weg über $\begin{align} \frac{1+z}{1-z} = \zeta \end{align}$ , wobei $\begin{align} \zeta \end{align}$ eine fünfte Einheitswurzel ist. Diese Gleichung kann man sehr leicht nach $\begin{align} z \end{align}$ auflösen.
22.08.2014, 01:55	Bernhard1	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: Danke für den Hinweis. Man bekommt per Ausmultiplizieren die numerischen Ergebnisse zwar schneller, aber nicht in der gewünschten Darstellung .

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