AWP - nicht eindeutige Lösung?

22.08.2014, 15:52	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
AWP - nicht eindeutige Lösung? Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin gerade etwas durcheinander bei folgendem (eigentlich einfachem) Problem: $\begin{eqnarray} y'(x) + y(x) = 1 \quad y(0) = 1 \end{eqnarray}$ Hat diese Differentialgleichung zwei Lösungen? Meine Ideen: Eine Lösung wäre $\begin{eqnarray} y(x) = e^{-x} + 1 \end{eqnarray}$ und die andere einfach nur $\begin{eqnarray} y(x) = 1 \end{eqnarray}$ Die Lösung einer lineraren DGL setzt sich ja immer aus der Lösung des homogenen Problems und einer speziellen Lösung zusammen. Falls die Anfangsbedingung zufällig kompatibel mit der speziellen Lösung ist (also wie hier), habe ich dann zwei Lösungen?
22.08.2014, 16:30	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Frage nicht genau. Aber die allgemeine Lösung ist: $\begin{eqnarray} y(x) = c\cdot e^{-x} + 1 \end{eqnarray}$ Irgendeine Lösung (aber hier völlig irrelevant) mag sein: $\begin{eqnarray} y(x) = e^{-x} + 1 \end{eqnarray}$ Und die Lösung zu unserem AWP ist in der Tat einfach: $\begin{eqnarray} y(x) = 1 \end{eqnarray}$
22.08.2014, 16:40	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem erfüllt die Voraussetzungen des Stzes von Picard Lindelöff. Es dürfe also nur eine Lösung geben, die das AWP erfüllt. kaber sowohl $\begin{eqnarray} y = e^{-x} + 1 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y = 1 \end{eqnarray}$ sind Lösungen. Ist das ein Widerspruch zu Picard-Lindelöff?
22.08.2014, 16:42	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry - ich habe mich einfach nur verrechnet... $\begin{eqnarray} y = e^{-x} + 1 \end{eqnarray}$ löst mein Problem ja gar nicht...
22.08.2014, 17:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Das löst dein Problem gar nicht . Ist nur (irgend)eine Lösung, aber nicht zugehörig zum AWP.

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