Skalarprodukt nachweisen

22.08.2014, 16:40

Shiby

Skalarprodukt nachweisen

Hallo Leute,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Gegeben sei die Basis

$\begin{eqnarray*} b_1 =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\\0 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_2 =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\1 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_3 =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\1 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$

des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$
Finden Sie eine Matrix A derart, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x,y) := x^tAy \end{eqnarray*}$
ein Skalarprodukt definiert, bezüglich dem die gegebene Basis orthonormal ist.

So wie ich das verstehe soll ich die Basen mit Gram- Schidt orthonormalisieren und dann A als Spalten
der orthonormalisierten Basen darstellen.
$\begin{eqnarray*} A = b_1|b_2|b_3 \end{eqnarray*}$
Anschließend muss man dann noch zeigen das es sich um ein Skalarprodukt handelt.
Ist das so korrekt?

22.08.2014, 17:25

bijektion

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Wenn du Gram-Schmidt verwenden willst, brauchst du doch schon eine Skalaprodukt.
Außerdem heißt es ja, die gegebene Basis soll eine Orthonormalbasis sein.

22.08.2014, 18:16

Bernhard1

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Hallo Shiby,

bei einem Wechsel der Basis ist es hilfreich sich die Abbildung aufzuschreiben, welche die alten Basisvektoren auf die Neuen abbildet und umgekehrt.

22.08.2014, 18:35

Shiby

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Danke schonmal für die Antworten.
@bijektion ja okey das stimmt hab ich nicht dran gedacht.

Kann jemand mal bitte das genaue vorgehen beschreiben ich bin mir doch sehr unsicher wie
man diese Aufgabe löst.

22.08.2014, 18:43

bijektion

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Du weißt doch u.a.: $\begin{eqnarray*} f(b_1,b_1)=f(b_2,b_2)=f(b_3,b_3)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_2,b_3)=0 \end{eqnarray*}$ etc., das sollte doch schon helfen.

22.08.2014, 18:59

Bernhard1

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Die Aufgabe kann man im "Schnelldurchgang" mit der Formel $\begin{eqnarray*} A = B^TB \end{eqnarray*}$ lösen. Dabei muss gelten

$\begin{eqnarray*} e_i = B b_i \end{eqnarray*}$ für i=1,2,3

B bildet also die neuen Basisvektoren auf die "alten" Basisvektoren des R³ ab.

Auf die erste Formel kommt man über die Beziehung $\begin{eqnarray*} (Bx)^TBy = x^TB^TBy \end{eqnarray*}$ .

22.08.2014, 19:22

Shiby

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Sehe ich es korrekt, dass ich ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten erhalte und so die Matrix A bestimmen kann

22.08.2014, 19:27

Shiby

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wie kommst du auf die Formel $\begin{eqnarray*} A = B^tB \end{eqnarray*}$ ?

22.08.2014, 19:52

Bernhard1

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Wenn B invertierbar ist, komme ich vom euklidischen Skalarprodukt per $\begin{eqnarray*} (Bx)^TBy \end{eqnarray*}$ zu einem eindeutig definierten Skalarprodukt. Da das gesuchte Skalarprodukt ebenfalls eindeutig definiert ist und B innerhalb der Rechnung ebenfalls eindeutig berechenbar ist, sollte der gesamte Rechenweg zur gesuchten Lösung führen.

Besser kann ich es momentan auch nicht beschreiben. Ich weiß aber, dass es funktioniert smile

23.08.2014, 00:17

bijektion

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Zitat:

Sehe ich es korrekt, dass ich ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten erhalte und so die Matrix A bestimmen kann

So hätte ich es gemacht, aber Bernhard1s Weg scheint eleganter zu sein...

23.08.2014, 00:56

Bernhard1

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Die Inverse von B kann man dabei unmittelbar aus den Basisvektoren b_i bilden:

$\begin{eqnarray*} B^-1 = \left( \begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

23.08.2014, 01:13

Shiby

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Wieso kann ich die Inverse aus den Basisvektoren bilden?

23.08.2014, 02:05

Bernhard1

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B bildet die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ auf die "euklidischen" Basisvektoren ab, womit das euklidische Skalarprodukt letztendlich auf die neue Basis übertragen wird. Die Inverse von B bildet demnach umgekehrt die "euklidischen" Basisvektoren $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ auf die neuen Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ab.

Es gilt folglich $\begin{eqnarray*} b_i = B^{-1} e_i \end{eqnarray*}$

und da beispielsweise $\begin{eqnarray*} e_1 = (1, 0, 0)^T \end{eqnarray*}$ ist, stehen in den Spalten von $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ genau die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$

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