Eigenvektor von Drehmatrix in Abhängigkeit von Winkel

22.08.2014, 19:32	SigmaMMM	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor von Drehmatrix in Abhängigkeit von Winkel Meine Frage: Ich komme zum Ergebnis dass die 2x2 Drehmatrix mit a11=cos(ß) a22=cos(ß) a12=sin(ß) a21=-sin(ß) keinen Eigenvektor hat, da wenn ich ihn berechne nur für ß=0 grad bzw ß=180 grad sich ein reeller Eigenwert=1 ergibt. Wenn ich dann den Eigenvektor berechne ist dieser keiner da er gleich dem Nullvektor ist. Dies deckt sich intuitiv zwar mit der Vorstellung dass diese Drehung um den Ursprung die die Matrix beschreibt sich nicht um eine Achse ( zumindest nicht im R2) sondern um einen Punkt bewegt aber ich bin noch nicht so sicher im Rechnen mit Eigenwerten etc. und wäre dankbar für Feedback ob das stimmt da ich dachte jede Drehmatrix besitze Eigenvektoren. Meine Ideen: Oben
22.08.2014, 23:59	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja $\begin{eqnarray} d(\varphi)=\begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Drehmatrix. Bestimmen wir die Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \chi_{d(\varphi)}=\det (d(\varphi)-E_2) = \det \begin{pmatrix} -\lambda+\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & -\lambda+\cos \varphi \end{pmatrix} = (\cos(\varphi)-\lambda)^2+\sin^2(\varphi) = \lambda^2+1-2\cdot \lambda \cdot \cos \varphi =0 \end{eqnarray}$ ist zu lösen. Warum sollten unbedingt reelle Eigenwerte gebraucht werden? Es ist etwa $\begin{eqnarray} d(\varphi)\in M_{2\times 2}(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ .
01.09.2014, 19:46	SigmaMMM	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte es müsse reelle Eigenwerten geben. Ich kenne mich da nicht so gut aus. Danke für die Antwort

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