Beweisstrategie Vollständigkeitssatz

24.08.2014, 13:33	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisstrategie Vollständigkeitssatz Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche gerade, den Beweis des ersten Teils des Vollständigkeitssatzes in der mathematischen Logik nachzuvollziehen. Der Beweis will zeigen, dass $\begin{eqnarray} A <=> B \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist hierbei " $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ folgt aus $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ " und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist " $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ist ableitbar aus $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ . Erst wird die Richtung $\begin{eqnarray} B \Rightarrow A \end{eqnarray}$ gezeigt. Dann wird gezeigt, dass wenn $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nicht gilt, dann auch nicht $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und daraus wird dann gefolgert, dass schon $\begin{eqnarray} A <=> B \end{eqnarray}$ gilt, was ich nicht verstehe. Meine Ideen: Wieso kann die Rückrichtung gezeigt werden, indem man zeigt dass wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht gilt, dann auch nicht $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ?
24.08.2014, 13:56	index_razor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisstrategie Vollständigkeitssatz "Wenn A dann B" ist logisch äquivalent zu "wenn nicht B dann nicht A". Das kannst du leicht mit einer Wahrheitstabelle überprüfen. Der Sequenzenkalkül erlaubt übrigens so eine Schlußregel auch, sonst wäre er ja nicht vollständig. Wenn du also den ersten Teil (Korrektheit) schon akzeptiert hast, müßtest du eigentlich Wissen, daß diese Beweisstrategie erlaubt ist. ;-)
24.08.2014, 14:09	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisstrategie Vollständigkeitssatz Sorry, ich hatte mich verschrieben. Es muss heißen: Wieso kann die Rückrichtung gezeigt werden, indem man sagt "wenn nicht B dann nicht A"? Wieso folgt also aus " $\begin{eqnarray} B \Rightarrow A \end{eqnarray}$ " und " nicht $\begin{eqnarray} B \Rightarrow \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ " gerade $\begin{eqnarray} B <=> A \end{eqnarray}$ ? Kann man also etwas über die Rückrichtung aussagen, nur weil man zeigt, dass die Hinrichtung gilt wenn beides wahr und auch wenn beides falsch ist?
24.08.2014, 14:24	index_razor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisstrategie Vollständigkeitssatz Ich hatte gar nicht gemerkt, daß du dich am Ende verschrieben hast, denn davor hattest du den Beweis ja korrekt beschrieben. $\begin{eqnarray} A\Leftrightarrow B \end{eqnarray}$ bedeutet "Wenn A dann B und wenn B dann A". Ersteres, "Wenn A dann B", ist äquivalent zu "Wenn nicht B dann nicht A". Also muß man zeigen "Wenn B dann A und wenn nicht B dann nicht A". Sag dir den letzten Satz mal langsam vor. Er sagt genau, daß A und B gegenseitig auseinander folgen und deshalb immer gleichzeitig wahr oder falsch sind. Ansonsten gilt der Vorschlag noch, es mal mit einer Wahrheitstabelle zu probieren.
24.08.2014, 14:50	Stativa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisstrategie Vollständigkeitssatz Danke! Jetzt hab ich es verstanden. Ist so aufgeschrieben natürlich verständlich. Danke für deine Geduld, bin froh darüber, dass jemand es auch gerne öfter erklärt, damit man es versteht.

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