parametrisieren der 2D Fläche eines Dreiecks in R3

24.08.2014, 17:17

playsi

parametrisieren der 2D Fläche eines Dreiecks in R3

Hallo, meine Frage bezieht sich auf einen Schritt, den ich machen muss bevor ich Stokes anwenden kann.

Unzwar sollte ich das Gebiet (die Dreiecksfläche) als einen Vektor parametrisieren, aber ich versteh die Parametrisierung nicht :/

Wurde da einfach x2 auf den Wert 2 gesetzt oder übersehe ich da was.

Wäre nett, wenn mir das jemand etwas erläutern könnte.

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24.08.2014, 18:05

index_razor

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RE: parametrisieren der 2D Fläche eines Dreiecks in R3
Ich finde die Aufgabe etwas schlecht formuliert. Ich denke aber nicht, daß du den Satz von Stokes anwenden oder eine Fläche parametrisieren sollst.

Was gemeint ist: die Schnittgeraden zwischen der gegebenen Ebene $\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{eqnarray*}$ und allen drei Koordinatenflächen bilden eine Dreieckskurve. Entlang dieses Dreiecks sollst du das Wegintegral von F berechnen. Du mußt also m.E. nur die Dreiecksseiten (Geraden) parametrisieren.

Was aber da in deiner Musterlösung gemacht wurde, ist einfach die Ebenengleichung nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ aufzulösen und in den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, x_3) \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Dann erhältst du tatsächlich eine Parametrisierung (nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ) der gegebenen Ebene. Aber, wie gesagt, das brauchst du eigentlich nicht.

24.08.2014, 18:24

playsi

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danke schonmal für deine Antwort!

das ist nicht die komplette Musterlösung. Ich glaub ich brauch diese Parametrisierung um die oberen Grenzen zu erhalten für die spätere Integration mittels Stokes. Mein Problem ist, dass ich den 1. Schritt nicht ganz nachvollziehen kann.

Ich habe $\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{eqnarray*}$ umgestellt nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$

aber wieso fällt im Vektor (im 3. Eintrag) das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ weg? irgendwie steig ich da nicht durch ^^

Edit: ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ (im 3. Vektoreintrag) sondern $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ wird einfach gleich 2 gesetzt!!

srry nochmals!

24.08.2014, 18:41

index_razor

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Zitat:

Original von playsi
aber wieso fällt im Vektor (im 3. Eintrag) das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ weg? irgendwie steig ich da nicht durch ^^

Du meinst $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ? Ich bin ziemlich sicher, daß da $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , statt "2" stehen soll. Im nächsten Schritt wird dann einfach $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt und man erhält die durch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ parametrisierte Gerade in der 1-3-Ebene. Die Parametergrenzen von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ werden dann aus der Bedingung abgeleitet, das alle Koordinaten größer null sein sollen.

Aber mal abgesehen von der Musterlösung. Wenn die Aufgabe vollständig ist, verstehe ich nicht, wozu du den Satz von Stokes verwenden willst. Das ist doch einfach ein Wegintegral über drei Geradenstücke.

24.08.2014, 18:57

playsi

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ja das mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ kann hinkommen im vektor.

Stokes ist doch ein Arbeitsintegral über den Rand (also Arbeit eines teilchens, dass auf dem Rand durch ein Vektorfeld verläuft)

ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung warum wir Stokes nehmen, aber ich wollte es nutzen, weil es in der Musterlösung auch genommen wurde und in der Übung diese Themen behandelt wurden.

Kann wohl wie du schon sagst anders oder "leichter" gelöst werden. Ergebnis ist übrigens - 7/3 xD falls du das auf die einfache Weise überprüfen wolltest. Danke erstmal!

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