Zwei Quantoren mit derselben Variablen [Logik]

24.08.2014, 18:16

Id5649495

Zwei Quantoren mit derselben Variablen [Logik]

Meine Frage:
Nach dem Rekursionsaufbau von Formeln sind auch folgende Formeln erlaubt: $\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists x \psi (x)) \end{eqnarray*}$ . Aber wie kann man entscheiden, ob diese Aussage in einer bestimmten Struktur gilt oder nicht? Und wie würde die Formel in Pränexform aussehen?

Meine Ideen:
Kann ich das innere x einfach durch eine andere Variable y ersetzen?

24.08.2014, 19:36

Stephan Kulla

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RE: Zwei Quantoren mit derselben Variablen [Logik]

Zitat:

Original von Id5649495
Kann ich das innere x einfach durch eine andere Variable y ersetzen?

Ja, so ist es. Es ist also

$\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists x \psi (x)) \end{eqnarray*}$

als

$\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists y \psi (y)) \end{eqnarray*}$

zu interpretieren.

Grund: Sei $\begin{eqnarray*} A(x) = \phi (x) \vee \exists x \psi (x) \end{eqnarray*}$ . Die Aussage $\begin{eqnarray*} \forall x A(x) \end{eqnarray*}$ , also die Aussage $\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists x \psi (x)) \end{eqnarray*}$ , ist per Definition genau dann wahr, wenn für alle Individuen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} A(x/\alpha) \end{eqnarray*}$ wahr ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} A(x/\alpha) \end{eqnarray*}$ die Aussage, die entsteht, wenn alle freien Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Aussageform $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ersetzt werden. Also ist $\begin{eqnarray*} A(x/\alpha) = \phi (\alpha) \vee \exists x \psi (x) \end{eqnarray*}$ , da die anderen Vorkommen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch den Existenzquantor gebunden sind. Damit verhält sich

$\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists x \psi (x)) \end{eqnarray*}$

wie

$\begin{eqnarray*} \forall x (\phi (x) \vee \exists y \psi (y)) \end{eqnarray*}$

weil bei der Substitution nur freie Variablen ersetzt werden.

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