Primzahlen 6n+1 und 6n-1

24.08.2014, 23:02	flopp4	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen 6n+1 und 6n-1 Meine Frage: 1) Der Mathematiker DeBouvelle "bewies" 1509, dass für alle n Element aus den natürlichen Zahlen immer eine der Zahlen 6n+1 oder 6n-1 eine Primzahl ist. Beweise, dass er sich geirrt hat. 2) Schlimmer noch, beweise, dass er sich unendlich oft geirrt hat. Genauer: Beweise ihm, dass es unendlich viele natürliche Zahlen n gibt, sodass 6n+1 und 6n-1 zusammengesetzt sind. Meine Ideen: Ich dachte, ich könne mit Primzahlzwillingen arbeiten, doch da es "entweder 6n+1 oder 6n-1 ist eine Primzahl" kann ich damit nicht arbeiten (da bei einem Primzahlzwilling sowohl 6p+1 als auch 6n-1 prim ist). Stehe somit total auf der Leitung. Kann mir jemand von euch Mathegenies vielleicht helfen??
24.08.2014, 23:21	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei welchem Teil scheiterst du denn? Das kann man aus deinem Text irgendwie nicht ersehen. Auch sehe ich nicht, was dir Primzahlzwillinge bringen sollen, denn es geht ja gerade darum, unendlich viele n zu finden, sodass 6n-1, 6n+1 gerade nicht prim sind. Zum zweiten Teil gebe ich mal den Tipp, für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ zu suchen.
24.08.2014, 23:49	flopp 8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe sowohl bei 1) als auch bei 2) auf der Leitung, also benötige sowohl für 1) als auch für 2) einen Ansatz.
25.08.2014, 11:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Zahlen sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar. Aber man kann z.B. versuchen, solche $\begin{align} n \end{align}$ zu finden, für die zugleich $\begin{align} 6n-1 \end{align}$ durch 5 und $\begin{align} 6n+1 \end{align}$ durch 7 teilbar sind - ein relativ einfach zu lösendes Diophantisches Gleichungssystem.
25.08.2014, 14:26	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch jeden beliebigen anderen Primzahlzwilling nehmen. Sei ein solcher $\begin{align} (p,p+2) \end{align}$ , dannn ist ja $\begin{align} 6\mid p+1\Rightarrow 6\mid 6n-p-1\Rightarrow n- \frac{p+1}{6}\in\mathbb N \end{align}$ (Beweisen!). Mit $\begin{align} k:=\frac{p+1}{6} \end{align}$ ist also jedes n mit $\begin{align} ?\mid n-k\Rightarrow p\mid 6n-1\land p+2\mid 6n+1 \end{align}$ eine Lösung, also unendlich viele Lösungen. Dieses ? wäre noch zu finden und der Rest wäre auch noch zu beweisen.
25.08.2014, 14:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht noch weiter: Man kann sogar jedes Paar von Primzahlen $\begin{align} p > q \geq 5 \end{align}$ nehmen und findet nach dem chinesischen Restsatz eine Zahl $\begin{align} 1 \leq a < pq \end{align}$ mit $\begin{align} p \| 6(kpq+a)-1 \end{align}$ und $\begin{align} q \| 6(kpq+a)+1 \end{align}$ für alle $\begin{align} k \in \mathbb N \end{align}$ .
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25.08.2014, 14:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@tmo Das ist gut

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