Charakteristisches Polynom / Eigenwerte 4x4 Matrix

25.08.2014, 10:29

David567

Charakteristisches Polynom / Eigenwerte 4x4 Matrix

Halli Hallo, ich bin seit einer Ewigkeit dran die Eigenwerte einer 4x4 Matrix zu bestimmen. Aber ich verzweifel komplett. Ich hab schon rausgefunden das man das charakteristische Polynom dazu benötigt. Dennoch komm ich einfach nicht auf das charakteristische Polynom bzw die Eigenwerte. Hab auch schon mit Determinanten herumprobiert, aber iwie wird das nix.

Die Matrix:

3 2 1 1
2 2 1 0
1 1 4 3
1 0 3 4

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.

David smile

25.08.2014, 12:06

bijektion

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Wenn wir deine Matrix mal A nennen, musst du erstmal $\begin{eqnarray*} \det (A-\lambda \cdot E_4) \end{eqnarray*}$ berechnen, hast du das schon gemacht?

25.08.2014, 12:20

David567

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ja, und da hab ich dann den Laplac'schen Entwicklungssatz genommen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4-\lambda & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nach Spalte 4 entwickelt hab ich dann

$\begin{eqnarray*} 1 * \begin{vmatrix} 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 4-\lambda \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} + 3 * \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} + (4-\lambda) * \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so wenn ich das dann alles auflöse, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 13\lambda^{3} + 46\lambda^2 - 47\lambda + 21 \end{eqnarray*}$

stimmt bis zur 46, dann müsste 42 und 3 kommen

25.08.2014, 13:20

bijektion

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Dann schreib es doch mal ausführlich auf Augenzwinkern

25.08.2014, 13:58

David567

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also, nachdem ich nach Spalte 4 entwickelt habe, habe ich die 3 "einzelnen matrizen" wie folgt aufgelöst:

1. $\begin{eqnarray*} \lambda^2-2\lambda+5 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 9\lambda^2-42\lambda+18 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} -\lambda^4+13\lambda^3-56\lambda^2+91\lambda-44 \end{eqnarray*}$

macht dann zusammen $\begin{eqnarray*} -\lambda^4+13\lambda^3-46\lambda^2+47\lambda-21 \end{eqnarray*}$

25.08.2014, 14:23

voodoo666

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Zitat:

Original von David567
ja, und da hab ich dann den Laplac'schen Entwicklungssatz genommen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4-\lambda & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nach Spalte 4 entwickelt hab ich dann

$\begin{eqnarray*} 1 * \begin{vmatrix} 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 4-\lambda \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} + 3 * \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} + (4-\lambda) * \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so wenn ich das dann alles auflöse, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 13\lambda^{3} + 46\lambda^2 - 47\lambda + 21 \end{eqnarray*}$

stimmt bis zur 46, dann müsste 42 und 3 kommen

Was ist mit dem Vorzeichen vor deinen 3x3 Matrizen? Schau dir nochmal genau die Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes an, da kommt vor jeden Faktor noch ein (-1)^(i+j).
Grüße

25.08.2014, 14:25

David567

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ja, war ein schusselfehler von mir, aber das ändert ja am ergebnis nichts. also ändert nur die vorzeichen...oder sehe ich das falsch?

25.08.2014, 15:04

RavenOnJ

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Zitat:

Original von David567
ja, war ein schusselfehler von mir, aber das ändert ja am ergebnis nichts. also ändert nur die vorzeichen...oder sehe ich das falsch?

Natürlich ändert das was am Ergebnis, wenn einer der Summanden ins negative gekehrt wird und die anderen nicht, oder umgekehrt.

25.08.2014, 15:07

David567

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Ich hatte bei allen die Vorzeichen vertauscht, also ändert es am Ende nichts, hab es auch nachgerechnet und komm trotzdem nicht aufs richtige

25.08.2014, 15:50

sixty-four

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Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gehören an die erste und zweite Determinante ein Minuszeichen.
Wenn ich die erste Determinante ausrechne, ergibt sich bei mir:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-3\lambda+7 \end{eqnarray*}$

Du hast aber ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-2\lambda+5 \end{eqnarray*}$

25.08.2014, 16:18

sixty-four

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Nach meiner Rechnung ist das so:

1. $\begin{eqnarray*} \lambda^2-3\lambda+7 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 9\lambda^2-42\lambda+18 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \lambda^4-13\lambda^3+56\lambda^2-87\lambda+28 \end{eqnarray*}$

wie gesagt, musst du jetzt nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz, die erste und zweite Unterdeterminante subtrahieren. Dann kommt das charakteristische Polynom

$\begin{eqnarray*} \lambda^4-13\lambda^3+46\lambda^2-42\lambda+3 \end{eqnarray*}$

raus.

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