Lemma in Funktionentheorie

25.08.2014, 16:19	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma in Funktionentheorie Meine Frage: Das Lemma ist sehr knapp formuliert und der Beweis ebenso daher würde ich mich freuen wenn ihr eure Gedanken dazu äußern würdet. $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ stetig, $\begin{eqnarray} \phi(x)\leq k \end{eqnarray}$ für ein konstantes k sowie $\begin{eqnarray} \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \phi(x) \mathrm{d}x \geq k \quad (1) \end{eqnarray}$ so folgt $\begin{eqnarray} \phi(x)=k \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für $\begin{eqnarray} \phi(x)<k \end{eqnarray}$ gibt es ein Intervall $\begin{eqnarray} (\xi-\delta,\xi+\delta) \end{eqnarray}$ in dem $\begin{eqnarray} \phi(x)\leq k-\epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_a^b \phi(x) \mathrm{d}x \leq 2\delta(k-\epsilon)+(b-a-2\delta)k = (b-a)k-2\delta\epsilon \end{eqnarray}$ im Widerspruch zu (1). Wird nun eine stetige Fkt. nur in einem Punkt betrachtet? Ist die Funktion im Reellen? da diese Lemma dann zum Beweis des Maximumprinzips(im komplexen) verwendet wird. Dann wäre das mit dem Intervall ja wiederum quatsch!? Ein paar Ideen??
25.08.2014, 16:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn nun die Frage? Die Aussage ist offensichtlich wahr und der Beweis auch richtig. Die Funktion lebt natürlich im Reellen, sonst wäre so etwas wie $\begin{align} \phi(x) \leq k \end{align}$ ja gar kein sinnvoller Ausdruck.
26.08.2014, 10:30	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
bin halt n weng verwirrt weils lemma dann hier(siehe anhan) benutzt wird
26.08.2014, 10:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Angewendet wird das Lemma ja auf die Funktion $\begin{align} \rho \end{align}$ (und danach auch nochmal auf die Funktion $\begin{align} cos(\phi) \end{align}$ ), und die bildet von $\begin{align} [0,2\pi] \end{align}$ nach $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ ab.
26.08.2014, 12:04	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso das Lemma wird angewandt auf die reelle! Funktion rho und auf den (reellen) Realteil.

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