Vollständige Induktion - Fakultät gleich Produkt

25.08.2014, 17:40

mathNoop

Vollständige Induktion - Fakultät gleich Produkt

Meine Frage:
Hallo zusammen,

bin neu hier und hoffe das ich keine Thema zum x-ten mal auf mache.

Also zu Zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} n! = \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Mit hilfe der vollständigen Induktion.

Da ich hier nicht nach einer Lösung frage bitte ich nur um einen Denkanstoß, das Prinzip der Induktion ist mir klar nur weiß ich leider nicht genau wie ich hier ansetzen soll.

Meine Ideen:
Ich hatte bereits die Idee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k * (n+1) = (n-1) * n * (n+1) = n³-n \end{eqnarray*}$

Dies gilt auch, aber für n = 3.
Eventuell kann man die elemente vor n hier nur (n-1) anders darstellen oder so damit man vielleicht auch auch größere n abdecken kann.

Würde mich über einen Anstoß sehr freuen.

25.08.2014, 17:50

Hippocampus

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$\begin{eqnarray*} n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k= 1+2+3+...+n \end{eqnarray*}$

Das passt doch nicht?! Oder ist das zu widerlegen?

25.08.2014, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNoop
Also zu Zeigen ist:

$\begin{align*} n!= \sum\limits_{k=1}^n k \end{align*}$

Sicher nicht, da diese Aussage für $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ sowie alle $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ falsch ist. unglücklich

25.08.2014, 17:58

mathNoop

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Verzeih mir ich wollte nicht das Sigma benutzen sondern Pi also ein Produkt

also n! = 1*2*3....*n also statt groß Sigma groß PI aber das ist im Formeleditor nicht vorhanden.

25.08.2014, 17:59

Hippocampus

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Zitat:

\Pi

$\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$

Zitat:

\prod_{k=1}^n k

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

EDIT: BIN WEG

25.08.2014, 18:01

sixty-four

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Meinst du wirklich das, was du geschrieben hast?

$\begin{eqnarray*} n!= \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Du kannst leicht nachprüfen, dass das für alle n nicht gelten kann. Schon bei n=2 steht auf der linken Seite eine 2 und auf der rechten Seite eine 3. Wenn ich das richtig sehe, gilt das nur für n=1 und n=3.

Es gilt aber:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2}=\sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Das kannst du durch vollständige Induktion beweisen.

25.08.2014, 18:04

mathNoop

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Ja hab es gerade auch gefunden. Ich bitte um Entschuldigung für diesen Fauxpas .
so ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} n! = \prod\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

25.08.2014, 18:24

HAL 9000

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Hmm, manche sehen

$\begin{eqnarray*} n! = \prod\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

gerade als Definition der Fakultät an - in dem Sinne wäre dann ja aber hier gar nichts zu beweisen! Ich nehme daher an, ihr habt die Fakultät anders (vermutlich rekursiv) definiert? Wie auch immer, nenne hier bitte mit eure Definition der Fakultät, damit dir hier adäquat geholfen werden kann.

25.08.2014, 18:38

mathNoop

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genau, wir haben die Fakultät als

n! = 1*2*3*...*n

definiert. Und $\begin{eqnarray*} n! = \prod\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ ist ja genau das selbe, deshalb weiß ich nicht wie ich dies zeigen soll.

25.08.2014, 18:52

sixty-four

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Viel zu beweisen gibt es da wirklich nicht. Aber ich versuche es mal:

Als erstes musst du beweisen, dass es für n=1 gilt. Offenbar ist
$\begin{eqnarray*} 1! = 1 \end{eqnarray*}$

und auch

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^1 k = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt annimmst, dass du die Gleichung für ein beliebiges n schon bewiesen hast, dass also gilt:

$\begin{eqnarray*} n! = \prod_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

dann musst du zeigen, dass auch

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = \prod_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

gilt. Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

----------------------------

kgV: Bitte keine Komplettlösungen geben, wgal, wie trivial das Problem scheinen mag. Informiere dich dazu am besten im Boardprinzip. Den Rest habe ich gekürzt.

25.08.2014, 19:34

sixty-four

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Da mein Beitrag gekürzt wurde, ist die entscheidende Beweisidee verloren gegangen. Deshalb noch folgenden Hinweis: Du musst dir überlegen, wie du das Produkt

$\begin{eqnarray*} (n+1) \prod_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

unter ein Produktsymbol schreiben kannst. Dann hast du es.

26.08.2014, 11:32

mathNoop

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Also habe das jeztz so:

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} n! = \prod\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Induktions Anfang

$\begin{eqnarray*} 1! = 1 = \prod\limits_{k=1}^1 \end{eqnarray*}$
(wahr)

Induktions Schritt

$\begin{eqnarray*} n! = \prod\limits_{k=1}^n k \Rightarrow (n+1)! = \prod\limits_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

es gilt: $\begin{eqnarray*} (n+1)! = n!(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (n+1)! = \prod\limits_{k=1}^n k (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \prod\limits_{k=1}^n k \prod\limits_{k=n+1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \prod\limits_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

qed

26.08.2014, 11:50

sixty-four

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Das sieht doch gut aus. Ich würde aber immer noch zu jedem Schritt etwas Text schreiben, damit ein Leser deine Gedanken besser nachvollziehen kann.

Ausserdem würde ich an dieser Stelle

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = \prod_{k=1}^n k (n+1) \end{eqnarray*}$

empfehlen, den Faktor (n+1) vor das Produktsymbol zu ziehen, damit es kein Missverständnis gibt, also so:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1) \prod_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

26.08.2014, 14:54

mathNoop

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Alles klar, wird nächstes mal gemacht.
Danke für die schnellen Antworten ! smile

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