alpha-Niveau-Test nachweisen

26.08.2014, 16:05	Tests & Co	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, kann einer bitte einen Blick auf meine Lösung werfen und wenn nötig Korrekturvorschläge geben? Folgende Aufgabenstellung: Die Lebensdauer einer Autobatterie werde durch eine Exponentialverteilung mit einem unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ beschrieben. Basierend auf $\begin{eqnarray} X_1,\dots,X_n\sim Exp(\lambda) \end{eqnarray}$ (stochastisch unabhängig, gleichverteilt) soll geprüft werden, ob die erwartete Lebensdauer $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ einen gegebenen Wert $\begin{eqnarray} \mu_0 \end{eqnarray}$ übersteigt. Ein Test für das obige Testproblem sei gegeben durch: Verwerfe die Nullhypothese, falls $\begin{eqnarray} S>c\mu_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S=\sum\limits_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ . Bestimme ein $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ so, dass der Test ein alpha-Niveau-Test wird. Meine Lösung: Ich setze $\begin{eqnarray} T=\frac{S}{\mu_0} \end{eqnarray}$ und bestimme die Gütefunktion $\begin{eqnarray} G(\theta)=P(T>c) \end{eqnarray}$ des Tests. Dazu benötige ich die Verteilung von $\begin{eqnarray} S=\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim \Gamma(n,\lambda) \end{eqnarray}$ (Summe von exponentialverteilen ZV ist gammaverteilt). Jetzt bezeiche ich mit $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion der Gammafunktion: $\begin{eqnarray} P(T>c)=P(s>\mu_0\cdot c)=1-P(s\leq\mu_0\cdot c)=1-F(\mu_0\cdot c)\stackrel !=\alpha \end{eqnarray}$ Also wähle $\begin{eqnarray} c=\Gamma_{1-\alpha}\cdot \frac 1{\mu_0} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Gamma_{1-\alpha} \end{eqnarray}$ das alpha-Quantil der $\begin{eqnarray} \Gamma(n,\lambda) \end{eqnarray}$ Verteilung bezeichnet. Stimmt das so oder ist der Ansatz komplett falsch? Edit: Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Beitrag nicht beantwortet aussieht. LG Iorek

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